Trigonometría/Texto completo

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Trigonometría[editar]

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. Este estudio da pie a considerar una serie de funciones (seno, coseno, tangente...) que dan lugar a un campo mucho más amplio que el considerado inicialmente y que se aplica sobre todo a fenómenos de tipo periódico, como son las ondas electromagnéticas. En la antigüedad, se uso para los estudios astronómicos y en agrimensura. Hoy en día, además, la trigonometría juega un papel clave en los sistemas de posicionamiento global (GPS).

Conceptos básicos[editar]

Identidades trigonométricas fundamentales.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sen, sin
Coseno cos
Tangente tan, tg
Cotangente ctg (cot)
Secante sec
Cosecante csc (cosec)

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo[editar]

Trigono a10.svg

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

  • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .
  • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:


El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:


3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:


4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:


5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:


6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:


Funciones trigonométricas de ángulos notables[editar]

ANGULOS NOTABLES.png

Definición para un número real cualquiera[editar]

El artículo principal de esta categoría es Función real.

No es posible utilizar la definición dada anteriormente, un coseno de para valores de menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas coseno y seno como la abscisa (x) y la ordenada (y), respectivamente, de un punto P de coordenadas (x, y), perteneciente a la circunferencia, siendo el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.

Seno y coseno.gif

Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x está fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

Representación gráfica[editar]

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Función Trigonométrica R333.svg

Teorema fundamental de la trigonometría[editar]




Equivalencia entre las funciones trigonométricas[editar]

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Teorema de Thales de Mileto[editar]

Thales (o Tales) nació hacia el 625 a. C. en Mileto, una de las primeras ciudades fundadas por los griegos a orillas del mar Egeo, la cual en esa época era una de las más ricas y evolucionadas de esa zona lo que hoy es Turquia.

Establece el criterio de semejanza de lados entre tríangulos que compartían un mismo lado cómo si fuera una razón o proporción, y con el que logró medir las pirámides de Keops.

Leyenda relatada por Plutarco[editar]

Según la leyenda relatada por Plutarco,[1] Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Thales theorem 6.png


Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.

Primer Teorema (Semejanza entre tríangulos por líneas paralelas)[editar]

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Demostraciones[editar]

ThalesD1.png


Cuando dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales.

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos de los lados del ángulo determinados por las paralelas son proporcionales.

Entonces:

=

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí.

Entonces:

=

Al cortar los lados de un ángulo cualquiera por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medios desde el vértice a las paralelas.

= =

Este mismo teorema se aplica a paralelas que cortan líneas que están conectadas a un mísmo vértice, donde podemos aplicar la siguiente proporción;

ThalesD2.png


= =

Con tres o más rectas[editar]

ThalesD3.png


Al cortar dos o más rectas por tres o más paralelas, los segmentos determinados sobre las rectas son proporcionales entre sí.

= =

Reciproco[editar]

Si dos o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.

Segundo Teorema[editar]

El ángulo inscrito en un semicircunferencia es recto (90°).

Demostración[editar]

Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:


Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Corolarios[editar]

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la misma.

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig 2.3).

La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.

Fuentes[editar]

https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/39/teorema-de-thales

http://enebro.pntic.mec.es/~jhep0004/Paginas/ElenManu/thales_de_mileto.htm

Teorema de Pitagoras[editar]

Pythagorean right angle.svg

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa y ademas es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se formula que:

De la ecuación se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

Texto grande== Historia == El Teorema de Pitágoras puede haberse conocido mucho antes del nacimiento de Pitágoras, pero fue comprobado en el siglo VI antes de cristo (a.c) por el matemático Pitágoras.

Respecto de los babilonios hay esta nota:

Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado "teorema de Pitágoras" y de sus consecuencias numéricas.


El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a lTexto grandeTexto grandeTexto grandeTexto grande

Elemento de lista numerada[editar]

os citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.[3] La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.Texto grande

Designaciones convencionales[editar]

Euklidova veta.svg


Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices
Lados (como segmento)
Lados (como longitud)
Ángulos

Ejemplos de uso[editar]

  • Para calcular la longitud e de una escalera; se conoce la altura h del muro a alcanzar; la distancia p desde la línea suelo muro al pie de la escalera. Se cumple la ecuación ${\displaystyle e^{2}=h^{2}+p^{2}}; se despeja el valor de e, mediante ${\displaystyle e={\sqrt {h^{2}+p^{2}}}.}
  • En la geometría analítica plana, para hallar la distancia entre los puntos ${\displaystyle C(x_{1},y_{1}),D(x_{2},y_{2})} con la igualdad ${\displaystyle CD^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.}
  • En trigonometría para demostrar la identidad fundamental ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}entre el seno y coseno.

Demostraciones[editar]

China: El Zhou Bi Suan Jing, y el Jiu Zhang Suan Shu[editar]

Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
Pythagoras-2a.gif

El Zhou Bi es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el Plantilla:AC Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al Jiu Zhang parece que es posterior, está fechado en torno al año Plantilla:AC

El Zhou Bi demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:

Si añadimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c formando la figura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b - a. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:

Ya que .

Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Demostraciones supuestas de Pitágoras[editar]

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[4]

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

  • De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

  • De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

  • Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.
  • El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris () equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Funciones Trigonométricas[editar]

Funciones trigonométricas de ángulo doble[editar]

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que


Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo a términos de , o convirtiendo a términos de :


Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:


Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

Y para el caso alternativo:

Funciones trigonométricas inversas[editar]

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

  • Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.

La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:


  • Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.

Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:


  • Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.

A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:


Representación gráfica[editar]

Representación gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Tabla trigonométrica[editar]

El uso de la trigonometría en los cálculos de geometría exige el poder calcular sus variables con cierta precisión, una forma de hacer estos cálculos es mediante el uso de la tabla trigonométrica o tabla de senos, estas tablas son una herramienta sencilla y de uso muy general.

Veamos una tabla trigonométrica y su modo de uso, para el calculo de las funciones trigonométricas.

La tabla[editar]

Esta tabla de doble entrada determina el seno de un ángulo, dado en grados sexagesimales, desde 0 a 45 grados, a intervalos de 0,1 grado o 6 minutos de grado, según se puede ver en las dos filas superiores, en la primera como el primer decimal, y en la segunda como minutos de grado.

En la columna de la izquierda vienen los grados, en la fila superior las fracciones de grado en intervalos de 0,1 de grado, o en minutos a intervalos de 6 minutos, de grado sexagesimales, donde se cruzan la fila y columna correspondientes podemos encontrar el valor del seno del ángulo, expresado con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco, para facilitar la lectura.

Tabla trigonométrica
g\m 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
Sin(x) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 0,000 000 0,001 745 0,003 491 0,005 236 0,006 981 0,008 727 0,010 472 0,012 217 0,013 962 0,015 707
1 0,017 452 0,019 197 0,020 942 0,022 687 0,024 432 0,026 177 0,027 922 0,029 666 0,031 411 0,033 155
2 0,034 899 0,036 644 0,038 388 0,040 132 0,041 876 0,043 619 0,045 363 0,047 106 0,048 850 0,050 593
3 0,052 336 0,054 079 0,055 822 0,057 564 0,059 306 0,061 049 0,062 791 0,064 532 0,066 274 0,068 015
4 0,069 756 0,071 497 0,073 238 0,074 979 0,076 719 0,078 459 0,080 199 0,081 939 0,083 678 0,085 417
5 0,087 156 0,088 894 0,090 633 0,092 371 0,094 108 0,095 846 0,097 583 0,099 320 0,101 056 0,102 793
6 0,104 528 0,106 264 0,107 999 0,109 734 0,111 469 0,113 203 0,114 937 0,116 671 0,118 404 0,120 137
7 0,121 869 0,123 601 0,125 333 0,127 065 0,128 796 0,130 526 0,132 256 0,133 986 0,135 716 0,137 445
8 0,139 173 0,140 901 0,142 629 0,144 356 0,146 083 0,147 809 0,149 535 0,151 261 0,152 986 0,154 710
9 0,156 434 0,158 158 0,159 881 0,161 604 0,163 326 0,165 048 0,166 769 0,168 489 0,170 209 0,171 929
10 0,173 648 0,175 367 0,177 085 0,178 802 0,180 519 0,182 236 0,183 951 0,185 667 0,187 381 0,189 095
11 0,190 809 0,192 522 0,194 234 0,195 946 0,197 657 0,199 368 0,201 078 0,202 787 0,204 496 0,206 204
12 0,207 912 0,209 619 0,211 325 0,213 030 0,214 735 0,216 440 0,218 143 0,219 846 0,221 548 0,223 250
13 0,224 951 0,226 651 0,228 351 0,230 050 0,231 748 0,233 445 0,235 142 0,236 838 0,238 533 0,240 228
14 0,241 922 0,243 615 0,245 307 0,246 999 0,248 690 0,250 380 0,252 069 0,253 758 0,255 446 0,257 133
15 0,258 819 0,260 505 0,262 189 0,263 873 0,265 556 0,267 238 0,268 920 0,270 600 0,272 280 0,273 959
16 0,275 637 0,277 315 0,278 991 0,280 667 0,282 341 0,284 015 0,285 688 0,287 361 0,289 032 0,290 702
17 0,292 372 0,294 040 0,295 708 0,297 375 0,299 041 0,300 706 0,302 370 0,304 033 0,305 695 0,307 357
18 0,309 017 0,310 676 0,312 335 0,313 992 0,315 649 0,317 305 0,318 959 0,320 613 0,322 266 0,323 917
19 0,325 568 0,327 218 0,328 867 0,330 514 0,332 161 0,333 807 0,335 452 0,337 095 0,338 738 0,340 380
20 0,342 020 0,343 660 0,345 298 0,346 936 0,348 572 0,350 207 0,351 842 0,353 475 0,355 107 0,356 738
21 0,358 368 0,359 997 0,361 625 0,363 251 0,364 877 0,366 501 0,368 125 0,369 747 0,371 368 0,372 988
22 0,374 607 0,376 224 0,377 841 0,379 456 0,381 070 0,382 683 0,384 295 0,385 906 0,387 516 0,389 124
23 0,390 731 0,392 337 0,393 942 0,395 546 0,397 148 0,398 749 0,400 349 0,401 948 0,403 545 0,405 142
24 0,406 737 0,408 330 0,409 923 0,411 514 0,413 104 0,414 693 0,416 281 0,417 867 0,419 452 0,421 036
25 0,422 618 0,424 199 0,425 779 0,427 358 0,428 935 0,430 511 0,432 086 0,433 659 0,435 231 0,436 802
26 0,438 371 0,439 939 0,441 506 0,443 071 0,444 635 0,446 198 0,447 759 0,449 319 0,450 878 0,452 435
27 0,453 990 0,455 545 0,457 098 0,458 650 0,460 200 0,461 749 0,463 296 0,464 842 0,466 387 0,467 930
28 0,469 472 0,471 012 0,472 551 0,474 088 0,475 624 0,477 159 0,478 692 0,480 223 0,481 754 0,483 282
29 0,484 810 0,486 335 0,487 860 0,489 382 0,490 904 0,492 424 0,493 942 0,495 459 0,496 974 0,498 488
30 0,500 000 0,501 511 0,503 020 0,504 528 0,506 034 0,507 538 0,509 041 0,510 543 0,512 043 0,513 541
31 0,515 038 0,516 533 0,518 027 0,519 519 0,521 010 0,522 499 0,523 986 0,525 472 0,526 956 0,528 438
32 0,529 919 0,531 399 0,532 876 0,534 352 0,535 827 0,537 300 0,538 771 0,540 240 0,541 708 0,543 174
33 0,544 639 0,546 102 0,547 563 0,549 023 0,550 481 0,551 937 0,553 392 0,554 844 0,556 296 0,557 745
34 0,559 193 0,560 639 0,562 083 0,563 526 0,564 967 0,566 406 0,567 844 0,569 280 0,570 714 0,572 146
35 0,573 576 0,575 005 0,576 432 0,577 858 0,579 281 0,580 703 0,582 123 0,583 541 0,584 958 0,586 372
36 0,587 785 0,589 196 0,590 606 0,592 013 0,593 419 0,594 823 0,596 225 0,597 625 0,599 024 0,600 420
37 0,601 815 0,603 208 0,604 599 0,605 988 0,607 376 0,608 761 0,610 145 0,611 527 0,612 907 0,614 285
38 0,615 661 0,617 036 0,618 408 0,619 779 0,621 148 0,622 515 0,623 880 0,625 243 0,626 604 0,627 963
39 0,629 320 0,630 676 0,632 029 0,633 381 0,634 731 0,636 078 0,637 424 0,638 768 0,640 110 0,641 450
40 0,642 788 0,644 124 0,645 458 0,646 790 0,648 120 0,649 448 0,650 774 0,652 098 0,653 421 0,654 741
41 0,656 059 0,657 375 0,658 689 0,660 002 0,661 312 0,662 620 0,663 926 0,665 230 0,666 532 0,667 833
42 0,669 131 0,670 427 0,671 721 0,673 013 0,674 302 0,675 590 0,676 876 0,678 160 0,679 441 0,680 721
43 0,681 998 0,683 274 0,684 547 0,685 818 0,687 088 0,688 355 0,689 620 0,690 882 0,692 143 0,693 402
44 0,694 658 0,695 913 0,697 165 0,698 415 0,699 663 0,700 909 0,702 153 0,703 395 0,704 634 0,705 872
45 0,707 107 0,708 340 0,709 571 0,710 799 0,712 026 0,713 250 0,714 473 0,715 693 0,716 911 0,718 126

Ejemplo: cual es el seno de 5,4 grados, o lo que es lo mismo el seno de 5°24′:

en la fila del cinco, y la columna del 0,4 tenemos:

Para otros valores[editar]

En la tabla podemos encontrar el seno de un ángulo comprendido entre 0 y 45 grados, naturalmente podría confeccionarse una tabla hasta 90 grados, pero esto no es necesario, porque como vamos a ver se puede determinar los valores para ángulos superiores a 45, así como el valor del coseno y de la tangente

Partiendo de un triángulo ABC, rectángulo en C, podemos ver las siguientes relaciones:

Trigonometria 01.svg

Según la definición de las funciones seno y coseno:

por el Teorema de Pitágoras:

y al ser ángulos complementarios:

Con esta cuatro relaciones y la tabla anterior podemos determinar los valores de las funciones.

sin(α): y 45 < α < 90[editar]

Partiendo de la relación [3]:

y dividiendo por c al cuadrado, tenemos:

esto es:

sustituyendo de [1] y [2]:

sustituyendo de [4], tenemos:

ordenando términos:

y por fin:

con lo que partiendo de un comprendido entre 45 y 90 grados su seno es la raíz cuadrada de 1 menos el cuadrado del seno de 90 menos , donde se puede buscar en la tabla.

Ejemplo[editar]

Cual es el seno de 50,6°.

Como 50,6° es mayor de 45°, aplicamos la expresión:

con

operando:

en la tabla tenemos el valor del seno:

para sustituir en la ecuación:

operando y haciendo los cálculos tenemos, por fin:

cos(α): y 0 < α < 45[editar]

Como en el caso anterior partiendo de la relación [3]:

y dividiendo por c al cuadrado:

que resulta:

sustituyendo de [1] y de [2] el coseno:

ordenando términos:

que da por resultado:

pudiéndose calcular para un comprendido entre 0 y 45 grados, a partir de que encontramos en la tabla.

Ejemplo[editar]

Cual es el coseno de 12°24′, esto es:

según lo anterior:

que en este caso:

buscando en la tabla, tenemos el valor del seno:

sustituyendo el valor del seno en la expresión:

realizando las operaciones, da como resultado:

que es el valor del coseno buscado.

cos(α): y 45 < α < 90[editar]

Este caso es muy sencillo, partimos de las relaciones [2] y [4]:

y sustituyendo: en [2] tenemos que:

con lo que obtenemos el coseno de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, partiendo de la tabla de senos.

Ejemplo[editar]

Cual es el coseno de 75°.

Según la expresión anterior:

esto es:

buscando en la tabla tenemos que:

que es la solución al problema planteado.

tan(α): y 0 < α < 45[editar]

Para el calculo de la tangente usaremos la expresión:

empleando las deducciones del seno y el coseno hecho ya en las secciones anteriores, para un ángulo comprendido entre 0 y 45° tendremos que:

Ejemplo[editar]

Cual es la tangente de 32,1°.

Según lo anterior, tenemos:

Mirando en la tabla el valor del seno, tenemos que:

que sustituyéndolo en la expresión tenemos:

operando:

que por fin da:

tan(α): y 45 < α < 90[editar]

Del mismo modo podemos determinar la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°:

ampliando la raíz al denominador:

descomponiendo la fracción:

simplificando tenemos:

esta expresión, nos permite calcular la tangente partiendo de la tabla de senos.

Ejemplo[editar]

Cuanto vale la tangente de 53°

Al ser la tangente de un ángulo comprendido entre 45 y 90°, tenemos que:

operando:

de la tabla sacamos:

sustituyendo este valor:

operando:

esto es:

y por fin, realizando la raíz, tenemos:

que es el valor solicitado.

Enlaces externos[editar]

Fórmula de Euler[editar]

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, y son las funciones trigonométricas seno y coseno.

O bien se suele expresar como:

siendo la variable compleja definida por

Seno y coseno, funciones complejas[editar]

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:


Por lo tanto, la tangente quedará definida como:


Siendo .

Circunferencia Unitaria[editar]

Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria[editar]

La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.
El área del cuadrado y del círculo unitario es el número pi.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.
Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC

como OA = 1, se deduce que: AE = AC / OC

Funciones trigonométricas recíprocas[editar]

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

Topología[editar]

En topología, a la circunferencia unitaria (también denominado disco unidad) se la clasifica como S1; la generalización para una dimensión más es la esfera unidad S2.

Véase también[editar]

Commons

Análisis de funciones trigonométricas[editar]

Función del seno[editar]

Función Trigonométrica R100.svg
  • Función:

Dominio:

Recorrido:

Período:

Continuidad:

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Impar:

Corte con el eje x:

Corte con el eje y:

Función del coseno[editar]

Función Trigonométrica R010.svg
  • Función:

Dominio:

Recorrido:

Período:

Continuidad:

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Par:

Corte con el eje x:

Corte con el eje y:

Función de la tangente[editar]

Función Trigonométrica R001.svg
  • Función

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Período:

Creciente en:

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar:

Cortes con el eje x:

Corte con el eje y:

Función de la cosecante[editar]

Función Trigonométrica R200.svg

La función de la cosecante es la inversa del seno:

  • Función

Dominio:

Recorrido:

Período:

Continuidad:

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Impar:

Cortes con el eje x: No corta

Corte con el eje y: No corta

Función de la secante[editar]

Función Trigonométrica R020.svg

La función de la secante es la inversa de coseno:

  • Función

Dominio:

Recorrido:

Período:

Continuidad:

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos: Propiedades

Mínimos: Propiedades

Par:

Cortes con el eje x: No corta

Corte con el eje y:

Función de la cotangente[editar]

Función Trigonométrica R002.svg

La función de la cotangente es la inversa de la tangente:

  • función

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Período:

Decreciente en:

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar:

Cortes con el eje x:

Corte con el eje y: no existe

Tabla de senos[editar]

Tabla de senos
g\m 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
Sin(x) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 0,000 000 0,001 745 0,003 491 0,005 236 0,006 981 0,008 727 0,010 472 0,012 217 0,013 962 0,015 707
1 0,017 452 0,019 197 0,020 942 0,022 687 0,024 432 0,026 177 0,027 922 0,029 666 0,031 411 0,033 155
2 0,034 899 0,036 644 0,038 388 0,040 132 0,041 876 0,043 619 0,045 363 0,047 106 0,048 850 0,050 593
3 0,052 336 0,054 079 0,055 822 0,057 564 0,059 306 0,061 049 0,062 791 0,064 532 0,066 274 0,068 015
4 0,069 756 0,071 497 0,073 238 0,074 979 0,076 719 0,078 459 0,080 199 0,081 939 0,083 678 0,085 417
5 0,087 156 0,088 894 0,090 633 0,092 371 0,094 108 0,095 846 0,097 583 0,099 320 0,101 056 0,102 793
6 0,104 528 0,106 264 0,107 999 0,109 734 0,111 469 0,113 203 0,114 937 0,116 671 0,118 404 0,120 137
7 0,121 869 0,123 601 0,125 333 0,127 065 0,128 796 0,130 526 0,132 256 0,133 986 0,135 716 0,137 445
8 0,139 173 0,140 901 0,142 629 0,144 356 0,146 083 0,147 809 0,149 535 0,151 261 0,152 986 0,154 710
9 0,156 434 0,158 158 0,159 881 0,161 604 0,163 326 0,165 048 0,166 769 0,168 489 0,170 209 0,171 929
10 0,173 648 0,175 367 0,177 085 0,178 802 0,180 519 0,182 236 0,183 951 0,185 667 0,187 381 0,189 095
11 0,190 809 0,192 522 0,194 234 0,195 946 0,197 657 0,199 368 0,201 078 0,202 787 0,204 496 0,206 204
12 0,207 912 0,209 619 0,211 325 0,213 030 0,214 735 0,216 440 0,218 143 0,219 846 0,221 548 0,223 250
13 0,224 951 0,226 651 0,228 351 0,230 050 0,231 748 0,233 445 0,235 142 0,236 838 0,238 533 0,240 228
14 0,241 922 0,243 615 0,245 307 0,246 999 0,248 690 0,250 380 0,252 069 0,253 758 0,255 446 0,257 133
15 0,258 819 0,260 505 0,262 189 0,263 873 0,265 556 0,267 238 0,268 920 0,270 600 0,272 280 0,273 959
16 0,275 637 0,277 315 0,278 991 0,280 667 0,282 341 0,284 015 0,285 688 0,287 361 0,289 032 0,290 702
17 0,292 372 0,294 040 0,295 708 0,297 375 0,299 041 0,300 706 0,302 370 0,304 033 0,305 695 0,307 357
18 0,309 017 0,310 676 0,312 335 0,313 992 0,315 649 0,317 305 0,318 959 0,320 613 0,322 266 0,323 917
19 0,325 568 0,327 218 0,328 867 0,330 514 0,332 161 0,333 807 0,335 452 0,337 095 0,338 738 0,340 380
20 0,342 020 0,343 660 0,345 298 0,346 936 0,348 572 0,350 207 0,351 842 0,353 475 0,355 107 0,356 738
21 0,358 368 0,359 997 0,361 625 0,363 251 0,364 877 0,366 501 0,368 125 0,369 747 0,371 368 0,372 988
22 0,374 607 0,376 224 0,377 841 0,379 456 0,381 070 0,382 683 0,384 295 0,385 906 0,387 516 0,389 124
23 0,390 731 0,392 337 0,393 942 0,395 546 0,397 148 0,398 749 0,400 349 0,401 948 0,403 545 0,405 142
24 0,406 737 0,408 330 0,409 923 0,411 514 0,413 104 0,414 693 0,416 281 0,417 867 0,419 452 0,421 036
25 0,422 618 0,424 199 0,425 779 0,427 358 0,428 935 0,430 511 0,432 086 0,433 659 0,435 231 0,436 802
26 0,438 371 0,439 939 0,441 506 0,443 071 0,444 635 0,446 198 0,447 759 0,449 319 0,450 878 0,452 435
27 0,453 990 0,455 545 0,457 098 0,458 650 0,460 200 0,461 749 0,463 296 0,464 842 0,466 387 0,467 930
28 0,469 472 0,471 012 0,472 551 0,474 088 0,475 624 0,477 159 0,478 692 0,480 223 0,481 754 0,483 282
29 0,484 810 0,486 335 0,487 860 0,489 382 0,490 904 0,492 424 0,493 942 0,495 459 0,496 974 0,498 488
30 0,500 000 0,501 511 0,503 020 0,504 528 0,506 034 0,507 538 0,509 041 0,510 543 0,512 043 0,513 541
31 0,515 038 0,516 533 0,518 027 0,519 519 0,521 010 0,522 499 0,523 986 0,525 472 0,526 956 0,528 438
32 0,529 919 0,531 399 0,532 876 0,534 352 0,535 827 0,537 300 0,538 771 0,540 240 0,541 708 0,543 174
33 0,544 639 0,546 102 0,547 563 0,549 023 0,550 481 0,551 937 0,553 392 0,554 844 0,556 296 0,557 745
34 0,559 193 0,560 639 0,562 083 0,563 526 0,564 967 0,566 406 0,567 844 0,569 280 0,570 714 0,572 146
35 0,573 576 0,575 005 0,576 432 0,577 858 0,579 281 0,580 703 0,582 123 0,583 541 0,584 958 0,586 372
36 0,587 785 0,589 196 0,590 606 0,592 013 0,593 419 0,594 823 0,596 225 0,597 625 0,599 024 0,600 420
37 0,601 815 0,603 208 0,604 599 0,605 988 0,607 376 0,608 761 0,610 145 0,611 527 0,612 907 0,614 285
38 0,615 661 0,617 036 0,618 408 0,619 779 0,621 148 0,622 515 0,623 880 0,625 243 0,626 604 0,627 963
39 0,629 320 0,630 676 0,632 029 0,633 381 0,634 731 0,636 078 0,637 424 0,638 768 0,640 110 0,641 450
40 0,642 788 0,644 124 0,645 458 0,646 790 0,648 120 0,649 448 0,650 774 0,652 098 0,653 421 0,654 741
41 0,656 059 0,657 375 0,658 689 0,660 002 0,661 312 0,662 620 0,663 926 0,665 230 0,666 532 0,667 833
42 0,669 131 0,670 427 0,671 721 0,673 013 0,674 302 0,675 590 0,676 876 0,678 160 0,679 441 0,680 721
43 0,681 998 0,683 274 0,684 547 0,685 818 0,687 088 0,688 355 0,689 620 0,690 882 0,692 143 0,693 402
44 0,694 658 0,695 913 0,697 165 0,698 415 0,699 663 0,700 909 0,702 153 0,703 395 0,704 634 0,705 872
45 0,707 107 0,708 340 0,709 571 0,710 799 0,712 026 0,713 250 0,714 473 0,715 693 0,716 911 0,718 126

Bibliografía[editar]

Bibliografía[editar]

  • título: Actividades para unidad didáctica sobre trigonometría [Recurso electrónico] (2008)
Autor: Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria
editor: Ediciones Didacticas y Pedagogicas S. L.
id: ISBN 978-84-9363-363-9
  • título: Trigonometría plana: tu material didáctico [Recurso electrónico] (2008)
Autor: Merlini Navarro, Irene
editor: Vision Libros
id: ISBN 978-84-9821-279-2
  • título: Trigonometría y números complejos, 1 Bachillerato. Cuaderno 2 [Monografía] (2007)
Autor: Colera Jiménez, José; García Pérez, Rosario; Oliveira González, María José
editor: Anaya
id: ISBN 978-84-6671-368-9
  • título: Trigonometría, 4 ESO, opción B. Cuadernillo de ejercicios [Recurso electrónico] (2007)
Autor: Acosta Gavilán, Eva María; Pino Mejías, Miguel Francisco
editor: Tutorial Formación, S. L. L.
id: ISBN 978-84-9684-421-6
  • título: Matemáticas, semejanza y trigonometría, 4 ESO. Cuaderno 4 [Monografía] (2007)
Autor: Bellón Fernández, Manuel; Alcaide Guindo, Fernando; González Fernández, José Luis (1979- )
editor: Ediciones SM
id: ISBN 978-84-6751-550-3
  • título: Matemáticas, triángulos y trigonometría, ESO. Cuaderno de ejercicios y problemas 9 [Monografía] (2006)
Autor: Pérez Olano, Javier; Quiralte Fuentes, Vidal
editor: Editorial Luis Vives (Edelvives)
id: ISBN 978-84-2636-067-0
  • título: Matemáticas prácticas [Monografía] (2006) [Obra Completa]
Autor: Palmer, Claude Irving
editor: Editorial Reverté, S. A. [Parte de obra completa: T. 4]
id: ISBN 978-84-2915-112-1
  • título: Trigonometría (1969) [Parte de obra completa: T. 4]
Autor:
editor: Editorial Reverté, S. A.
id: ISBN 978-84-2915-104-6
  • título: Proyecto Aureo, trigonometría II, ESO. Cuadernos de matemáticas 24 [Monografía] (2005)
Autor: Nieto Conde, Félix Eugenio
editor: Hergué Editora Andaluza
id: ISBN 978-84-9531-993-7
  • título: Proyecto Aureo, trigonometría I, ESO. Cuadernos de matemáticas 23 [Monografía] (2005)
Autor: Nieto Conde, Félix Eugenio
editor: Hergué Editora Andaluza
id: ISBN 978-84-9531-992-0
  • título: Trigonometría esférica: teoría y problemas resueltos [Monografía] (2004)
Autor: Iglesias Martín, María Asunción
editor: Universidad del País Vasco. Servicio Editorial
id: ISBN 978-84-8373-640-1
  • título: Notas y apuntes de trigonometría esférica y astronomía de posición [Monografía] (2004)
Autor: Berrocoso Domínguez, Manuel
editor: Universidad de Cádiz. Servicio de Publicaciones
id: ISBN 978-84-7786-651-0
  • título: Matemáticas, semejanza y trigonometría, 4 ESO. Cuaderno 4 [Monografía] (2004)
Autor: Bellón Fernández, Manuel
editor: Ediciones SM
id: ISBN 978-84-3489-703-8
  • título: Compendio de problemas de matemáticas, aritmética, álgebra, trigonometría y geometría, Bachillerato [Monografía] (2004)
Autor: Torrecilla de Amo, Diego; Molina Mendoza, Juan de Dios
editor: Grupo Editorial Universitario (Granada)
id: ISBN 978-84-8491-336-8
  • título: Trigonometría esférica: fundamentos [Monografía] (2003)
Autor: Barrero Ripoll, Manuel; Castejón Solanas, María de los Ángeles; Sebastián Lorente, Luis
editor: Universidad Politécnica de Madrid. Fundación General
id: ISBN 978-84-9624-413-9
  • título: Matemáticas, trigonometría, ESO. Cuaderno 26 [Monografía] (2003)
Autor: Ríos Santos, Agustín; Martínez Medina, César
editor: Editorial Ecir, S. A.
id: ISBN 978-84-7065-859-4
  • título: Teoría básica para Bachillerato: trigonometría, álgebra, geometría en el plano y espacio [Monografía] (2002)
Autor: Negrillo Díaz, M. Flor
editor: Instituto Enseñanza Secundaria Pablo Ruiz Picasso
id: ISBN 978-84-6009-814-0
  • título: Matemáticas, ESO. Cuaderno 16. Trigonometría [Monografía] (2001)
Autor:
editor: Edebé
id: ISBN 978-84-2365-702-5
  • título: Matemáticas: determinantes, trigonometría, números complejos, geometría del plano y del espacio y análisis de funciones [Monografía] (2001)
Autor: Ayllón Cesteros, Ana
editor: Anaya
id: ISBN 978-84-6670-082-5
  • título: Álgebra y trigonometría [Monografía] (2000)
Autor: Bruño, G. M.
editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
id: ISBN 978-84-7719-860-4
  • título: Tratado elemental de trigonometría [Monografía] (2000)
Autor: Aguayo y Millán, Miguel
editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
id: ISBN 978-84-7719-858-1
  • título: Nociones de trigonometría [Monografía] (2000)
Autor: Suárez Somonte, Ignacio
editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
id: ISBN 978-84-7719-852-9
  • título: Nociones de álgebra y trigonometría [Monografía] (2000)
Autor: Jiménez Osuna, José Miguel
editor: Universidad de Léon. Secretariado de Publicaciones y Medios Audiovisuales
id: ISBN 978-84-7719-838-3
  • título: Trigonometría [Monografía] (2000)
Autor: Font Moll, Vicenç; Fargas Tatjé, Montserrat
editor: Almadraba Editorial
id: ISBN 978-84-8308-209-6
  • título: Geometría y trigonometría, 4 ESO [Monografía] (1999)
Autor: Valenzuela, J. I.
editor: Valenzuela Santos, José Ignacio. Ediciones Didácticas
id: ISBN 978-84-9202-767-5
  • título: Trigonometría (1998)
Autor: Esteban Piñeiro, M. ; Ibañes Jalón, Marcelino; Ortega, Tomás (1949- )
editor: Editorial Síntesis, S. A.
id: ISBN 978-84-7738-470-0
  • título: Trigonometría I: cuaderno de ejercicios resueltos y propuestos para el alumno (1998)
Autor: Sánchez Carrasco, Juan Jesús
editor: Sánchez Carrasco, Juan Jesús
id: ISBN 978-84-6057-967-0
  • título: Matemáticas 2, 1 Bachillerato: ampliación de trigonometría, geometría analítica en el plano (1997)
Autor: Faixes Farrús, Alfonso; Rodá Quintana, Jorge; Sans, Jaime
editor: Iol Ediciones, S. L.
id: ISBN 978-84-8965-852-3
  • título: Curso de trigonometría esférica (1997)
Autor: Nieto Vales, Juan Manuel
editor: Universidad de Cádiz. Servicio de Publicaciones
id: ISBN 978-84-7786-392-2
  • título: Tratado de trigonometría 2: problemas resueltos (1997)
Autor: Díez Díez, Pedro
editor: Celarayn Editorial, S. L.
id: ISBN 978-84-8971-630-8
  • título: Trigonometría (1997)
Autor: Cubelos Enríquez, Elvira; Hijano López, Juan Antonio
editor: Hijano López, Juan Antonio
id: ISBN 978-84-9221-060-2
  • título: Elementos de trigonometría esférica [Monografía] (1996)
Autor: Vila Mitjà, Antoni
editor: Ediciones UPC, S. L.
id: ISBN 978-84-8963-690-3
  • título: Trigonometría [Monografía] (1995)
Autor: Abbott, P.
editor: Ediciones Pirámide, S. A.
id: ISBN 978-84-3680-426-3
  • título: Trigonometría (1994)
Autor: Plaza Tremado, Concepción; Muñoz Moreno, María Vicenta; Muñoz Jiménez, María Teresa
editor: Instituto de Educación Secundaria "Comendador Juan de Távora"
id: ISBN 978-84-8085-026-1
  • título: Álgebra lineal: geometría y trigonometría (1994)
Autor: Benítez López, Julio; Felipe Román, María José
editor: Universidad Politécnica de Valencia. Servicio de Publicaciones
id: ISBN 978-84-7721-283-6
  • título: Geometría, trigonometría, estadística y probabilidad (1994)
Autor: Formals, Pura.
editor: S. A. de Promoción y Ediciones
id: ISBN 978-84-7758-908-2
  • título: Trigonometría esférica y astronomía (1992)
Autor: Mateo López, Luis J. (1932- )
editor: Mateo López, Luis Juan
id: ISBN 978-84-6043-877-9
  • título: Trigonometría clásica (1992)
Autor: Cordero Guerrero, Santiago
editor: G. E. A. Bergidum Flavium
id: ISBN 978-84-8692-118-7
  • título: Problemas de trigonometría (1992)
Autor: Bobillo Fresco, José Alberto.
editor: Bobillo Fresco, José Alberto
id: ISBN 978-84-6042-138-2
  • título: Elementos de trigonometría (1991)
Autor: Molina Pérez, M. Rosa; Coleto Martínez, José Miguel
editor: Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones
id: ISBN 978-84-7723-088-5
  • título: Problemas de trigonometría aplicados a la navegación (1989)
Autor: Miguel, Pedro de (1956-2007)
editor: País Vasco. Servicio Central de Publicaciones
id: ISBN 978-84-7542-699-0
  • título: Trigonometría razonada en las profesiones para aprender por si solo [Monografía] (1989)
Autor: Toral San Juan, Antonio
editor: Toral San Juan, Antonio
id: ISBN 978-84-4044-911-5
  • título: Fundamentos de trigonometría [Monografía] (1988)
Autor: Vázquez, Carlos E. ; Martínez, Martha
editor: Editorial Playor, S. A.
id: ISBN 978-84-3590-435-3
  • título: Trigonometría. Que fácil [Monografía] (1988)
Autor: Pijuan Voltas, Alberto
editor: Pijuan Voltas, Alberto
id: ISBN 978-84-4041-697-1
  • título: Matemáticas: geometría y trigonometría [Monografía] (1987)
Autor: Rosa del Barrio, Antonio de la
editor: Ingelek, S. A.
id: ISBN 978-84-7708-096-1
  • título: Trigonometría. Qué fácil [Monografía] (1987)
Autor: Pijuan Voltas, Alberto
editor: Pijuan Voltas, Alberto
id: ISBN 978-84-4041-164-8
  • título: Mil problemas de aritmética, álgebra, geometría, trigonometría (1985)
Autor: Antonov, N.
editor: Paraninfo Cengage Learning
id: ISBN 978-84-2830-866-3
  • título: Trigonometría activa: 2 BUP (1985)
Autor: Domínguez Muro, Mariano
editor: Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca
id: ISBN 978-84-7800-056-2
  • título: Apuntes de matemáticas. Tomo 1. Trigonometría y complejos (1984)
Autor: Tarapiella Pérez, Eduardo
editor: AUTOR-EDITOR 16
id: ISBN 978-84-3982-449-7
  • título: Curso de álgebra y trigonometría. (Fascículos) [Monografía] (1975)
Autor:
editor: Centro Técnico Profesional
id: ISBN 978-84-4008-765-2
  • título: Curso de álgebra y trigonometría [Monografía] (1975)
Autor:
editor: Centro Técnico Profesional
id: ISBN 978-84-4008-764-5
  • título: Geometría y Trigonometría. (Escuelas Ingeniería Técnica) (1974)
Autor: Thomas Ara, Luis
editor: AUTOR-EDITOR 15
id: ISBN 978-84-4001-013-1
  • título: Trigonometría y álgebra (1973)
Autor: Rodríguez Vidal, Rafael
editor: Editorial Teide, S. A.
id: ISBN 978-84-3073-032-2
  • título: Ejercicios y problemas de trigonometría rectilínea y esférica (1971)
Autor: García Ardura, Manuel
editor: Librería y Casa Editorial Hernando, S. A.
id: ISBN 978-84-7155-062-0
  • título: Norte de problemas: análisis algebraico, geometría métrica y trigonometría [Monografía]
Autor: Rey Pastor, Julio (1888-1962); Gallego Díaz, José
editor: Editorial Dossat, S. A.
id: ISBN 978-84-2370-254-1
  • título: Matemáticas, ESO [Obra Completa]
Autor: Vidal Juncosa, José
editor: Editorial Nadal-Arcada S. L. [Parte de obra completa: Vol. 21]
id: ISBN 978-84-7887-197-1
  • título: Trigonometría (1997) [Parte de obra completa: Vol. 21]
Autor:
editor: Editorial Nadal-Arcada S. L.
id: ISBN 978-84-7887-181-0
  • título: Matemáticas, ESO [Obra Completa]
Autor: Vidal Juncosa, José
editor: Editorial Nadal-Arcada S. L. [Parte de obra completa: T. 20]
id: ISBN 978-84-7887-128-5
  • título: Trigonometría (1995) [Parte de obra completa: T. 20]
Autor:
editor: Editorial Nadal-Arcada S. L.
id: ISBN 978-84-7887-148-3

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Version 1.2, November 2002

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E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.
F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.
H. Include an unaltered copy of this License.
I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.
J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.
L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.
M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.
N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.
O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.

You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.

5. COMBINING DOCUMENTS[editar]

You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.

The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.

In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements."

6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS[editar]

You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.

You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.

7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS[editar]

A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.

8. TRANSLATION[editar]

Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.

9. TERMINATION[editar]

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.

10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE[editar]

The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.

Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.

  1. Convivio dei Sette Sapienti (2, 147 A)
  2. Julio Rey Pastor y José Babini. Historia de la matemática, pág. 22; ISBN 84-7432-807-1
  3. Marc-Alain Ouaknin. El misterio de las cifras, pp 221-224. ISBN 9788496222465
  4. Una vez descubiertos los números irracionales esta demostración quedaba invalidada. Será Euclides el primero en prescindir de la proporcionalidad para demostrar el teorema.