Transwiki:Calculo diferencial solucionario:Parciales

Presentación

En este lugar encontrará los ejercicios que han sido utilizados en los diferentes parciales. Tras el planteamiendo de cada punto y su valor se describen los pasos generales involucrados en la resolución del mismo y el peso de dichos pasos dentro del procedimiento general a fin de aclarar la importancia de ellos en encontrar la solución.

Tercer Parcial (Julio 8 de 2004)

Primer Punto

El $\lim _{x\to 1}{\frac {{\sqrt[{3}]{x}}-1}{{\sqrt {1}}-1}}$ es: (valor 10 pts)

a. 0

b. 1

c. 3/2

d. 2/3

e. No existe

Pasos para la solución y peso de cada uno

• Evaluar directamente y encontrar que es indeterminado (2 pts)
• Racionarlizar y Factorizar una diferencia de cuadrados (2 pts)
• Multiplicar y factorizar una diferencia de cubos (4 pts)
• Calcular el límite despues de haber hecho las dos factorizaciones (2 pts)

Segundo Punto

Las asintotas verticales y horizontales de $y={\frac {x^{2}+2x-8}{x^{2}-4}}$ son: (Valor 10 pts) Pasos para la solución y peso de cada uno

• Para las asíntotas verticales:
  • Encontrar los valores en que el límite de la función tiende a infinito. (En este caso, determinar las raíces del denominador). (2 pts)
  • Evaluar el límite en cada raíz, para determinar dónde se puede factorizar y cálcular y dónde efectivamente es infinito. (4 pts)

• Para las asíntotas horizontales:
  • Evaluar el límite al infinito de la función (4 pts).

Tercer Punto

Dibuje la función $f$ que satisfaga las siguientes condiciones (Valor 15 pts)

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-2$ $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=1$ $\lim _{x\to 2^{-}}f(x)=\infty$ $\lim _{x\to 2^{+}}f(x)=-\infty$ $\lim _{x\to \infty }f(x)=3$ $\lim _{x\to -\infty }f(x)=4$

Pasos para la solución y peso de cada uno

• A partir de los límites infinitos y al infinito dibujar las asíntotas (3 pts)
• Usando los límites a izquierda y derecha de cero determinar saltos y "huecos" en cero (4 pts).
• Dibujar la función que "tienda" hacia las asintotas y satisfaga las condiciones de acercarse a los huecos (8 pts).

Cuarto Punto

Para qué valores de $a$ y $b$, $f$ es continua en todos los reales (Valor 15 pts).

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1-Cos{x}}{x}},&{\mbox{si}}&x<0\\x^{2}+ax+b,&{\mbox{si}}&0\leq x\geq 2\\{\frac {ax}{x+1}},&{\mbox{si}}&x>2\end{matrix}}\right.$

• Hallar los límites a izquierda y derecha en el punto x=0 (3 pts)
• Hallar los límites a izquierda y derecha en el punto x=2 (3 pts)
• Comparar las ecuaciones objenidas igualando límites y despejar $a$ y $b$ (3 pts)
• Justificar el por qué de la evaluación del límite de 1-Cos(x)/x, cuando x tiende a 0 (4 pts).
• Justificar el por qué de la evaluación del límite del polinomio (1 pto).
• Justificar el por qué de la evaluación del límite del cociente (1 pto).