Transwiki:Calculo diferencial solucionario:Limites algebraicos

Utilizando las propiedades básicas para el cálculo de los limites resuelva los siguientes límites:

---

 7x-3+2x+1

Ejercicio 2

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{4}-x^{5}}{1-x}}$

Respuesta:

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{4}(1-x)}{1-x}}$

$\lim _{x\to 1}x^{4}$

$1$

\lim\limits_{x\to \frac{1}{2}}\frac{2x^{2}+x-1}{2x^{2}-3x+1}

$\lim _{x\to 2}{\frac {2-{\sqrt[{2}]{x+2}}}{x-2}}\cdot {\frac {2+{\sqrt[{2}]{x+2}}}{2+{\sqrt[{2}]{x+2}}}}$

$\lim _{x\to 2}{\frac {-(x-2)}{(x-2)(2+{\sqrt[{2}]{x+2}}}}$

$\lim _{x\to 2}{\frac {-1}{2+{\sqrt[{2}]{x+2}}}}$

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \frac {-1}{2+\sqrt[2 ===Ejercicio 6=== <math>\lim_{x\to -2}\frac {5x^4-3x^2-68}{2x^5-3x^2+2x+8}}

Respuesta:

El primer termino de factoriza de la siguiente manera:{(x+2)(5x^3-10x^2+17x-34)} 

El segundo termino, la factorización anterior estaba mal hecha, el segundo termino no puede ser factorizado, por lo que el resultado sigue siendo indeterminado,

Ejercicio 8

lím 𝑥→−1 √3 + 2𝑥 − 𝑥2 lim 3+(2.1)-(-1.2) lim 5-(-2) lim 7

Ejercicio 9

$\lim _{x\to 9}{\frac {x^{2}-81}{{\sqrt {x}}-3}}$ =$\lim _{x\to 9}{\frac {(x-9)(x+9)}{{\sqrt {x}}-3}}\cdot {\frac {{\sqrt {x}}+3}{{\sqrt {x}}+3}}$ =$\lim _{x\to 9}{\frac {(x-9)(x+9)({\sqrt {x}}+3)}{x-9}}$ =$\lim _{x\to 9}\ {(x+9)({\sqrt {x}}+3)}$ =$\ {(9+9)({\sqrt {9}}+3)}$ =$\ {(18)(6)}$ =$\ {108}$

Ejercicio 13

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{{\sqrt {1+3x}}-1}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{{\sqrt {1+3x}}-1}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+3x}}+1}{{\sqrt {1+3x}}+1)}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {(x)({\sqrt {1+3x}}+1)}{(1+3x)-1}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {(x)({\sqrt {1+3x}}+1)}{3x}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {1+3x}}+1}{3}}$ =${\frac {{\sqrt {1+3(0)}}+1}{3}}$ =<sst6frac {\sqrt 1-1}{3}</math> =${\frac {2}{3}}$

Ejercicio 27

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {(}}2-t)-{\sqrt {2}}}{t}}$

RESPUESTA:

evaluando:

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {(}}2-t)-{\sqrt {2}}}{t}}$ =${\frac {{\sqrt {(}}2-0)-{\sqrt {2}}}{0}}$ =${\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}}{0}}={\frac {0}{0}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {(}}2-t)-{\sqrt {2}}}{t}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {({\sqrt {(}}2-t)-{\sqrt {2}})({\sqrt {(}}2-t)+{\sqrt {2}}}{t({\sqrt {(}}2-t)+{\sqrt {2}}}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {({\sqrt {(}}2-t))^{2}-({\sqrt {2}})^{2}}{t({\sqrt {(}}2-t)+{\sqrt {2}})}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {(2-t)-2)}{t({\sqrt {(}}2-t)+{\sqrt {2}})}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {-t}{t({\sqrt {(}}2-t)+{\sqrt {2}})}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {-1}{{\sqrt {(}}2-t)+{\sqrt {2}}}}={\frac {-1}{{\sqrt {(}}2-0)+{\sqrt {2}}}}$ =${\frac {-1}{{\sqrt {(}}2)+{\sqrt {2}}}}$ =${\frac {-1}{2{\sqrt {2}}}}$

Ejercicio 28

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{{\sqrt {(}}1+3x)-1}}$

RESPUESTA:

evaluando:

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{{\sqrt {(}}1+3x)-1}}$ =${\frac {0}{{\sqrt {(}}1+3(0))-1}}$ =${\frac {0}{{\sqrt {1}}-1}}$ =${\frac {0}{0}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{{\sqrt {(}}1+3x)-1}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {x({\sqrt {(}}1+3x)+1)}{({\sqrt {(}}1+3x)-1)({\sqrt {(}}1+3x)+1)}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {x({\sqrt {(}}1+3x)+1)}{({\sqrt {(}}1+3x))^{2}(1)^{2}}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {x({\sqrt {(}}1+3x)+1)}{(1+3x)-(1)}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {x({\sqrt {(}}1+3x)+1)}{3x)}}$ =$\lim _{x\to 0}{\frac {({\sqrt {(}}1+3x)+1)}{3}}={\frac {({\sqrt {(}}1+3(0))+1)}{3}}$ =${\frac {({\sqrt {1}}+1)}{3}}={\frac {2}{3}}$

Ejercicio 30

$\lim _{x\to -2}{\frac {x^{3}+2x^{2}+1-1}{x+2}}$

$\lim _{x\to -2}{\frac {x^{3}+2x^{2}}{x+2}}$

$\lim _{x\to -2}{\frac {x^{2}(x+2)}{x+2}}$

$\lim _{x\to -2}\ x^{2}$

$\ 4$

Ejercicio 32

$\lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{{\sqrt {x^{2}+3}}-2}}$

Respuesta:

$\lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{{\sqrt {x^{2}+3}}-2}}{\frac {{\sqrt {x^{2}+3}}+2}{{\sqrt {x^{2}+3}}+2}}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)({\sqrt {x^{2}+3}}+2)}{(x-1)(x+4)}}$

${\frac {{\sqrt {4}}+2}{5}}$

${\frac {4}{5}}$

Ejercicio 33

$\lim _{x\to a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{x^{2}-2ax+a^{2}}}$

Respuesta:

$\lim _{x\to a}{\frac {(x+a)(x-a)}{(x-a)(x-a)}}$

$\lim _{x\to a}{\frac {(x+a)}{(x-a)}}$

Ejercicio 34

$lim_{x\to 4}{\frac {x-4}{x^{2}-x-12}}$

Respuesta:

$lim_{x\to 4}{\frac {x-4}{(x-4)(x+3)}}$

$lim_{x\to 4}{\frac {1}{x+3}}$

$1/7$

Ejercicio 35

$lim_{x\to 3}{\frac {x^{3}-27}{x^{2}-9}}$

Respuesta:

$lim_{x\to 3}{\frac {(x-3)(x^{2}+3x+9)}{(x-3)(x+3)}}$

$lim_{x\to 3}{\frac {:}{<}}math>lim_{x\to 3}{\frac {x^{2}+3x+9}{x+3}}$

$lim_{x\to 3}{\frac {9+9+9}{6}}$

$27/6$

$9/2$

Ejercicio 36

$lim_{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$

Respuesta:

$lim_{h\to 0}{\frac {x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2}}{h}}$

$lim_{h\to 0}{2x+h}$

$2x$

Ejercicio 37

$lim_{x\to \infty }{\frac {3x-2}{8x+7}}$

Respuesta:

$lim_{x\to \infty }{\frac {3-(2/x)}{8+(7/x)}}$ $3/8$

Ejercicio 38

$lim_{x\to \infty }{\frac {6x^{2}+2x+1}{5x^{2}-3x-4}}$

Respuesta:

$lim_{x\to \infty }{\frac {6+(2/x)+(1/x^{2})}{5-(3/x)-(4/x^{2})}}$ $6/5$

Ejercicio 39

$lim_{x\to \infty }{\frac {x^{2}+x-2}{4x^{3}-1}}$

Respuesta:

$lim_{x\to \infty }{\frac {(1/x)+(1/x^{2})-(2/x^{3})}{4-(1/x^{3})}}$ $0$

Ejercicio 40

$lim_{x\to \infty }{\frac {2x^{3}}{x^{2}+1}}$

Respuesta:

$lim_{x\to \infty }{\frac {2}{(1/x)+(1/x^{3})}}$ $n.e$

Ejercicio 41

$\lim _{x\to 4}f(x)=\lim _{x\to 4}{\frac {{\sqrt[{2}]{x}}-2}{x-4}}$

$\lim _{x\to 4}f(x)=\lim _{x\to 4}{\frac {({\sqrt[{2}]{x}}-2)({\sqrt[{2}]{x}}+2)}{(x-4)({\sqrt[{2}]{x}}+2)}}$

$\lim _{x\to 4}f(x)=\lim _{x\to 4}{\frac {x-4}{(x-4)({\sqrt[{2}]{x}}+2)}}$ :$\lim _{x\to 4}f(x)=\lim _{x\to 4}{\frac {1}{{\sqrt[{2}]{x}}+2)}}$

$\lim _{x\to 4}f(x)={\frac {1}{4}}$

===Ejercicio

Ejercicio 48

$\lim _{x\to 5}{\frac {1-{\sqrt[{2}]{x-4}}}{x-5}}{\frac {1+{\sqrt[{2}]{x-4}}}{1+{\sqrt[{2}]{x-4}}}}$

Respuesta:

$\lim _{x\to 5}{\frac {-(x-5)}{(x-5)(1+{\sqrt[{2}]{x+4}})}}$

$\lim _{x\to 5}{\frac {-1}{1+{\sqrt {x+4}}}}$

${\frac {-1}{1+{\sqrt {9}}}}$

${\frac {-1}{4}}$

Ejercicio 49

49)$\lim _{x\to 6}{\frac {{\sqrt[{2}]{x-2}}-2}{x-6}}{\frac {{\sqrt[{2}]{x-2}}+2}{{\sqrt[{2}]{x-2}}+2}}$

Respuesta:

$\ lim_{x\to 6}{\frac {x-6}{(x-6)({\sqrt[{2}]{x-2}}+2)}}$

$\ lim_{x\to 6}{\frac {1}{({\sqrt[{2}]{x-2}}+2)}}$

${\frac {1}{{\sqrt {4}}+2}}$

${\frac {1}{4}}$

Ejercicio 50

50)$\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{3}-x^{3}}{h}}$

Respuesta:

$\lim _{h\to 0}{\frac {x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}}$

$\lim _{h\to 0}{\frac {h(3x^{2}+3xh+h^{2})}{h}}$

$\lim _{h\to 0}3x^{2}+\lim _{x\to 0}3xh+\lim _{h\to 0}h^{2}$

$3x^{2}$

Ejercicio 51

51)$\lim _{x\to 2}{\frac {4-x^{2}}{3-{\sqrt {(}}x^{2}+5)}}{\frac {3+{\sqrt {(}}x^{2}+5)}{3+{\sqrt {x^{2}+5}}}}$

Respuesta:

$\lim _{x\to 2}{\frac {(4-x^{2})(3+{\sqrt {x^{2}+5}})}{4-x^{2}}}$

$\lim _{x\to 2}3+{\sqrt {(}}x^{2}+5)$

$3+3$

$6$

Ejercicio 52

52)$\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt[{2}]{x+h}}-{\sqrt[{2}]{x}}}{h}}$

Respuesta:

$\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt[{2}]{x+h}}-{\sqrt[{2}]{x}}}{h}}{\frac {{\sqrt[{2}]{x+h}}+{\sqrt[{2}]{x}}}{{\sqrt[{2}]{x+h}}+{\sqrt[{2}]{x}}}}$ =$\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h({\sqrt[{2}]{x+h}}+{\sqrt[{2}]{x}})}}$ =$\lim _{h\to 0}{\frac {1}{{\sqrt[{2}]{x+h}}+{\sqrt[{2}]{x}}}}$ =${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$