Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Unión e intersección de conjuntos

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1.3.1. Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si e son dos conjuntos, la unión de e es el conjunto


o .


Esto es, consiste de todos los elementos que están ya sea en , ya sea en , ya sea en ambos e . La unión se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente:



Sean , y conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:

( U-1 ) (idempotencia)

( U-2 ) (identidad)

( U-3 ) (conmutatividad)

( U-4 ) (asociatividad)

( U-5 )

( U-6 ) si y solo si

Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de ( U-2 ) y ( U-6 ):


( U-2 ) Hay que demostrar que todo elemento de es elemento de (demostrar que ) y que, recíprocamente, todo elemento de es elemento de (demostrar que ). Si , entonces o , de lo que solo puede ser . Recíprocamente, si , entonces . Por tanto .


( U-6 ) Supóngase que pero que . Entonces, en particular, existe tal que , pero si esto es cierto, , lo que contradice el hecho de que . Recíprocamente, si , entonces de ( U-5 ) se sigue el resultado deseado.


1.3.2. La intersección de dos conjuntos e se define como el conjunto


.


Es decir, es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en como en . La intersección se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente :


Sean , y conjuntos cualesquiera

( I-1 ) (idempotencia)

( I-2 )

( I-3 ) (conmutatividad)

( I-4 ) (asociatividad)

( I-5 )

( I-6 ) si y solo si


Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

( UI-1 )

( UI-2 )


1.3.3. Si e son dos conjuntos tales que (i.e. si e no tienen elementos en común) se dice que e son conjuntos disjuntos.


1.3.4. Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de puede definirse como el conjunto


.


Así, si y solo si existe por lo menos un conjunto en que contenga al elemento . Como caso particular, tenemos


.


1.3.5. De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección se define por


.


Por tanto, si para todo conjunto de (i.e. consiste de los elementos que están en todo conjunto de ). Como caso particular, tenemos


.


1.3.6. Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si , entonces, puesto que en ese caso implica para cualquiera que sea el conjunto y el elemento , el conjunto lo contiene todo.



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