Reflexión electromagnetica/Español/Texto completo

Introducción

El presente trabajo es una compilación la sección 3 del libro Rappaport usado en la clase de Radio enlaces esta sección habla sobre el método de propagación llamado reflexión. en la implementación de radio enlaces, básicamente es mecanismo de propagación del cual se debe tener en cuenta distintos fenómenos como las perdidas, los desvanecimientos, la propagación por trayectos múltiples, Cálculos que afectan los radioenlaces. Para que nuestros enlaces de radio estén correctamente sintonizados teniendo en cuenta estos fenómenos que podrían afectarla.

Métodos de Propagación

La reflexión, la difracción y la dispersión son los tres mecanismos básicos de propagación que influyen en la propagación en un sistema de comunicaciones móviles. Estos mecanismos se explican brevemente en esta sección, y los modelos de propagación que describen estos mecanismos se analizan posteriormente en este capítulo. La potencia recibida (o su recíproca, la pérdida de trayectoria) es generalmente el parámetro más importante predicho por los modelos de propagación a gran escala basados en la física de la reflexión, la dispersión y la difracción. El desvanecimiento a pequeña escala y la propagación por trayectos múltiples (discutidos en el capítulo 4) también pueden describirse mediante la física de estos tres mecanismos básicos de propagación.

Reflexión

Ocurre cuando una onda electromagnética que se propaga incide sobre un objeto que tiene dimensiones muy grandes en comparación con la longitud de onda de la onda que se propaga. Los reflejos se producen desde la superficie de la tierra y desde edificios y paredes.

Ejemplo de Reflexión

Reflexión de los Dieléctricos

En la reflexión dieléctrica se muestra una onda incide con un ángulo $\theta _{i}$, con el plano limite entre dos medios dieléctricos frontera, donde parte de la energía se refleja de regreso al primer medio en un ángulo $\theta _{r}$ y otras transmite con $\theta _{t}$.

Planos de incidencia

Plano incidente: se define como el plano en el que se encuentran la onda incidente, reflejada y transmitida

En la figura 3.4 se puede observar que, el campo eléctrico se encuentra polarizado de forma paralela al plano incídete en la figura 3.4.a, y la polarización del campo eléctrico es perpendicular al plano incidente en la 3.4.b.

Geometría para calcular los coeficientes de reflexión entre dos dieléctricos

Los parámetros $\epsilon _{1}$, $\mu _{1}$, $\sigma _{1}$ y $\epsilon _{2}$, $\mu _{2}$, $\sigma _{2}$ representan la permitividad, la permeabilidad y la conductividad respectivamente.

La constante dieléctrica de un dieléctrico perfecto esta relacionada con un valor relativo $\epsilon _{r}$ y $\epsilon _{0}$ tal que $\epsilon$ $=$ $\epsilon _{r}*\epsilon _{0}$ es la permitividad del vacío siendo $8.85*10^{-12}$ ${\frac {F}{m}}$.

El mejor dieléctrico se considera el vacío donde:

$\alpha =0$

$\beta =\omega {\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}$

De esta mera se observar la constante de propagación, que se divide en una parte real y otra imaginaria:

$\gamma =\alpha +j\beta$

En el caso de que un material dieléctrico tiene perdidas de tal manera que absorbe energía, se puede representa por una constante dieléctrica compleja:

$\epsilon =\epsilon _{0}*\epsilon _{r}-j\epsilon _{'}$

donde,

$\epsilon _{'}={\frac {\sigma }{2*\pi *f}}$

Los termino de la $\epsilon _{r}$ y $\sigma$ normalmente no son afectados por variaciones en la frecuencia de la onda cuando el material es un buen conductor $(f<{\frac {\sigma }{(\epsilon _{r}*\epsilon {0})}})$

Cuando hay perdidas las permitividades se puede encontrar constante con la frecuencia, pero la conductividad si puede llegar a variar con la frecuencia de operación (se puede observar en la tabla 3.1).

Tabla 3.1

En la tabla se aprecia el comportamiento de la permitividad y la conductividad cuando es afectada por una frecuencia vemos que la frecuencia en algunos materiales puede afectar bien sea su conductividad o su permitividad relativa, para materiales superconductores la conductividad no es afectada por la variación de frecuencia.

Material	Relative Permittivity	Conductividad	Frecuencia (MHz)
Suelo Pobre	4	0.001	100
Tierra Tipica	15	0.005	100
Tierra Buena	25	0.02	100
Agua de Mar	81	5.0	100
Ladrillo	4.44	0.001	4000
Caliza	7.51	0.028	4000
Vidrio, Corning 707	4	0.00000018	1
Vidrio, Corning 707	4	0.000027	100
Vidrio, Corning 707	4	0.005	10000

Figura 3.4 Parámetros de material en varias frecuencias
$\Gamma _{||}={\frac {E_{r}}{E_{i}}}={\frac {\eta _{2}sin\theta _{t}-\eta _{1}sin\theta _{i}}{\eta _{2}sin\theta _{t}+\eta _{1}sin\theta _{i}}}$

$\Gamma _{L}={\frac {E_{r}}{E_{i}}}={\frac {\eta _{_{2}}sin\theta _{i}-\eta _{1}sin\theta _{t}}{\eta _{2}sin\theta {i}+\eta _{1}sin\theta _{t}}}$

Ecuaciones de polarización

Debido a la superposición, solo se necesitan dos polarizaciones ortogonales para resolver problemas de reflexión general. Los coeficientes de reflexión para los dos casos de polarización paralela y perpendicular del campo Eléctrico en el límite de dos dieléctricos esta dada por:

Cuando $\eta _{i}$ es la impedancia intrínseca del medio i (i=1,2) y es dada por ${\sqrt {\frac {\mu _{i}}{\epsilon _{i}}}}$ la relación entre el campo eléctrico y magnético para una onda plana uniforme en el medio particular. La velocidad de una onda electromagnética es dada por ${\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}$ y las condiciones límite en la superficie de incidencia obedecen a la Ley Snells:

${\sqrt {\mu _{1}\epsilon _{1}}}\sin(90-\theta _{i})={\sqrt {\mu _{2}\epsilon _{2}}}\sin(90-\theta _{t})$ (3.21)

$\theta _{i}=\theta _{t}$ (3.22),

$E_{i}=E_{r}+E_{t}$

$E_{r}=\Gamma E_{i}$ (3.23.a)

$E_{i}=E_{r}+E_{t}$

$E_{i}-E_{i}\Gamma =E_{t}$

$E_{i}(1-\Gamma )=E_{t}$

$E_{t}=(1+\Gamma )E_{i}$ (3.23.b).

Donde $\Gamma$ es $\Gamma _{||}$ o $\Gamma _{1}$, dependiendo de la polarización. Para el caso en el que el primer medio es el espacio libre y $\mu _{1}=\mu _{2}$, los coeficientes de reflexión para los dos casos de polarización vertical y horizontal se pueden simplificar a: $\Gamma _{||}={\frac {-\epsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}{\epsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}}$ y $\Gamma _{1}={\frac {\sin \theta _{i}-{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}{\sin \theta _{i}+{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}}$

$\mu$=Permeabilidad.
$\Gamma$= Coeficiente de reflexión.
$\Gamma _{||}$= Polarización Vertical.
$\Gamma _{1}$= Polarización horizontal.
$\epsilon _{r}$= Permitividad reflejada.
$\theta _{r}$ = Angulo incidente.
Los subíndices $i,r,t$ se refieren a los campos incidente, reflejado y trasmitido.

Figura 3.6

Se analiza el coeficiente de reflexión de Fresnel cuando se hace una polarización vertical usando dos materiales con diferente índice de permitividad.

Magnitud de los coeficientes de reflección en función del ángulo de incidencia para $\epsilon _{r}=4$, $\epsilon _{r}=12$, utilizando

$\Gamma _{||}={\frac {E_{r}}{E_{i}}}={\frac {\eta _{2}sin\theta _{t}-\eta _{1}sin\theta _{i}}{\eta _{2}sin\theta _{t}+\eta _{1}sin\theta _{i}}}$

$\Gamma _{L}={\frac {E_{r}}{E_{i}}}={\frac {\eta _{_{2}}sin\theta _{i}-\eta _{1}sin\theta _{t}}{\eta _{2}sin\theta {i}+\eta _{1}sin\theta _{t}}}$

where is the intrinsic impedance of the i th medium (i = 1, 2), and is given by ${\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon {1}}}}$ , the ratio of electric to magnetic field for a uniform plane wave in the par-ticular medium. The velocity of an electromagnetic wave is given by ${\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}$, and the boundary conditions at the surface of incidence obey Snell’s Law which, referring to Figure 3.4, is given by

${\sqrt {\mu _{1}\epsilon _{1}}}sin{90-\theta _{i}}={\sqrt {\mu _{2}\epsilon _{2}}}sin{90-\theta _{t}}$

The boundary conditions from Maxwell’s equations are used to derive equations (3.19) and (3.20) as well as equations (3.22), (3.23.a), and (3.23.b).

$\theta _{i}=\theta _{r}$

and,

$E_{r}=\Gamma *E_{i}$

$E_{t}={1+\Gamma }*E_{i}$

where $\Gamma$ is either $\Gamma _{||}$ or $\Gamma _{LL}$, depending on polarization. For the case when the first medium is free space and $\mu _{1}$ $=$ $\mu _{2}$, the reflection coefficients for the two cases of vertical and horizontal polarization can be simplified to

$\Gamma _{||}={\frac {-\epsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}{\epsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}}$

and $\Gamma _{1}={\frac {\sin \theta _{i}-{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}{\sin \theta _{i}+{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}}$

Figure 3.6

Polarización paralela (Campo Eléctrico en plano de incidencia)

la geometría en la figura 3.4.

Polarización paralela (Campo Eléctrico en plano de incidencia)

Polarizacion perpendicular (Campo Eléctrico no en plano de incidencia)

Se analiza el coeficiente de Reflexión de Fresnel con una polarización horizontal se puede observar que el ángulo de incidencia para el cual la reflexión es del 100% es únicamente para 0° y luego disminuye progresivamente en ambos casos hasta que la transmisión sea muy alta con un ángulo de incidencia de 90°.

Ejemplo 3.4

Demostrar que el medio 1 es el espacio libre y el medio 2 es un dieléctrico, tanto $\Gamma _{||}$ como $\Gamma _{LL}$ se acercan a 1 cuando $\theta _{i}$ se acerca a 0° independientemente de $\epsilon _{r}$.

Solución Sustituir $\theta _{i}$ $=$ 0° en la ecuación — $\Gamma _{||}={\frac {-\epsilon _{r}sin0+{\sqrt {\epsilon _{r}-cos^{2}0}}}{\epsilon _{r}sin0+{\sqrt {\epsilon _{r}-cos^{2}0}}}}$

$\Gamma _{||}={\frac {\sqrt {\epsilon _{r}-1}}{\sqrt {\epsilon _{r}-1}}}$$=1$

Sustituir $\theta _{i}$ $=$ 0° en la ecuación — $\Gamma _{L}={\frac {sin0-{\sqrt {\epsilon _{r}-cos^{2}0}}}{sin0+{\sqrt {\epsilon _{r}-cos^{2}0}}}}$ $\Gamma _{L}={\frac {-{\sqrt {\epsilon _{r}-1}}}{\sqrt {\epsilon _{r}-1}}}=-1$

Este ejemplo nos ilustra que la tierra puede también ser tomada como reflector ideal debido al ángulo de incidencia de la onda el cual en este caso tiende a tener un ángulo muy pequeño o casi 0° esto hace que la relación de onda estacionaria tienda a ser 1 es decir, que se refleje la onda incidente en la tierra.

Ángulo de Brewster

El ángulo de Brewster es el ángulo en el que se produce la reflexión en el medio de origen. Ocurre cuando el ángulo de incidencia $\theta _{B}$ es tal que el coeficiente de reflexión $\Gamma$ es igual a cero. El ángulo de Brewster viene dado por el valor de $\theta _{B}$ que satisface

$sin\left(\theta _{B}\right)={\sqrt {\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}}$

Para el caso en el que el primer medio es espacio libre y el segundo medio tiene un $\varepsilon _{r}$ de permitividad relativa, la ecuación se puede expresar

$sin\left(\theta _{B}\right)={\frac {\sqrt {\varepsilon _{r}-1}}{\sqrt {\varepsilon _{r}^{2}-1}}}$

Ejemplo 3.5
Calcular el ángulo de Brewster para una onda que incide en el suelo con una permitividad de epsilon = 4

$sin\left(\theta _{i}\right)={\frac {\sqrt {\left(4\right)-1}}{\sqrt {\left(4\right)^{2}-1}}}={\sqrt {\frac {3}{15}}}={\sqrt {\frac {1}{5}}}$
$\theta _{i}=sin^{-1}{\sqrt {\frac {1}{5}}}=26.56^{\circ }$

Anexos

Demostración Ecuación 3.19

$\varepsilon _{i}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}$
$\mu =\mu _{0}\mu _{r}$
$z<0=\varepsilon _{1},G_{1},\mu _{1}$
$z>0=\varepsilon _{2},G_{2},\mu _{2}$
$\varepsilon _{i}=H_{i}$
$H_{i}=B_{i}\ \sin {(90\ -\ \theta _{i})}$
$B_{i}=\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}$
$\varepsilon _{r}=H_{r}$
$H_{r}=B_{r}\ \sin {(90\ -\ \theta _{r})}$
$B_{r}=\omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}$
$\varepsilon _{t}=H_{t}$
$H_{t}=B_{t}\ \sin {(90\ -\ \theta _{t})}$
$B_{t}=\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}$
$\varepsilon _{i}+\varepsilon _{r}=\varepsilon _{t}$
$\varepsilon _{i}=\varepsilon _{r}+\varepsilon _{t}$
$\varepsilon _{r}=\varepsilon _{i}\ -\ \varepsilon _{t}$
$\varepsilon _{t}=\varepsilon _{i}\ -\ \varepsilon _{r}$
$\varepsilon _{i}=\varepsilon _{i}\ -\ \varepsilon _{t}+\varepsilon _{i}\ -\ \varepsilon _{r}$
$\varepsilon _{r}\ +\ \varepsilon _{t}=\varepsilon _{i}\ -\ \varepsilon _{t}+\varepsilon _{i}\ -\ \varepsilon _{r}$
$B_{r}\sin {(\theta _{r})}+B_{t}\sin {(\theta _{t})}=B_{i}\sin {(\theta _{i})}-B_{t}\sin {(\theta _{t})}+B_{i}\sin {(\theta _{i})}-B_{r}\sin {(\theta _{r})}$
$\theta =-B_{r}\sin {(\theta _{r})}+B_{t}\sin {(\theta _{t})}+B_{i}\sin {(\theta _{i})}-B_{t}\sin {(\theta _{t})}+B_{i}\sin {(\theta _{i})}-B_{r}\sin {(\theta _{r})}$
$\theta _{r}=\ B_{i}\theta _{r}\ =\ \theta _{i}$
$B_{t}\sin {(\theta _{t})}-B_{i}\sin {(\theta _{i})}=-\omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\sin {(\theta _{r})}-\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin {(\theta _{t})}+\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin {(\theta _{i})}-\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin {(\theta _{t})}$
$\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin {(\theta _{t})}-\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin {(\theta _{i})}=-\omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\sin {(\theta _{r})}-\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin {(\theta _{t})}+\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin {(\theta _{i})}-\omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\sin {(\theta _{r})}$
$\omega ({\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin {(\theta _{t})}-\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin {(\theta _{i})})=-2\omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\sin {(\theta _{r})}-(\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin {(\theta _{t})}+\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin {(\theta _{i})})$
$\eta _{1}=\mu _{i}\varepsilon _{i}=\mu _{r}\varepsilon _{r}{\eta _{2}=\mu }_{t}\varepsilon _{t}$
$\omega (\eta _{2}\sin {(\theta _{t})}-\eta _{1}\sin {(\theta _{i})})=-\omega B_{i}\sin {(\theta _{i})}+\omega B_{r}\sin {(\theta _{r})}-\omega (\eta _{2}\sin {(\theta _{t})}+\eta _{1}\sin {(\theta _{i})})$
${\frac {\omega (\eta _{2}\sin {(\theta _{t})}-\eta _{1}\sin {(\theta _{i})})}{(\eta _{2}\sin {(\theta _{t})}-\eta _{1}\sin {(\theta _{i})})}}={\frac {(\omega +\omega B_{r}\sin {(\theta _{r})})}{\omega B_{i}\sin {(\theta _{i})}}}$
$\Gamma _{||}={\frac {E_{r}}{E_{i}}}={\frac {\eta _{2}sin\theta _{t}-\eta _{1}sin\theta _{i}}{\eta _{2}sin\theta _{t}+\eta _{1}sin\theta _{i}}}$

Demostración del ángulo de Brewster

Es importante mencionar que se demostrará en distintos espacios se probará:

En primer lugar, es cuando la permitividad sea distinta en ambos medios. para demostrar se usan las ecuaciones 3.27 y 3.19 que relacionan la premitividad distinta
$sin\left(\theta _{B}\right)={\sqrt {\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}}$ Ec. 3.27

$\Gamma _{\parallel }={\frac {\eta _{2}\sin \theta _{t}-\eta _{1}\sin \theta _{i}}{\eta _{2}\sin \theta _{t}+\eta _{1}\sin \theta _{i}}}$Ec. 3.19

$0={\frac {\eta _{2}\sin \theta _{t}-\eta _{1}\sin \theta _{i}}{\eta _{2}\sin \theta _{t}+\eta _{1}\sin \theta _{i}}}$

$0=\eta _{2}\sin \theta _{t}-\eta _{1}\sin \theta _{i}$

${\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\varepsilon _{2}}}}\sin \theta _{t}={\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\varepsilon _{1}}}}\sin \theta _{i}$

${\sqrt {\mu _{2}\varepsilon _{1}}}\sin \theta _{t}={\sqrt {\mu _{1}\varepsilon _{2}}}\sin \theta _{i}$

$\mu _{2}\varepsilon _{1}\sin ^{2}\theta _{t}=\mu _{1}\varepsilon _{2}\sin ^{2}\theta _{i}$

${\frac {\mu _{1}\varepsilon _{2}}{\mu _{2}\varepsilon _{1}}}\sin ^{2}\theta _{i}=\sin ^{2}\theta _{t}$

${\frac {\mu _{1}\varepsilon _{2}}{\mu _{2}\varepsilon _{1}}}\sin ^{2}\theta _{i}=\left(1-\cos ^{2}\theta _{t}\right)$

${\frac {\mu _{1}\varepsilon _{2}}{\mu _{2}\varepsilon _{1}}}\sin ^{2}\theta _{i}=1-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}\cos ^{2}\theta _{i}$

$\left({\frac {\mu _{1}\varepsilon _{2}}{\mu _{2}\varepsilon _{1}}}-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}\right)\sin ^{2}\theta _{i}=1-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}$

${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}\left({\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}\right)\sin ^{2}\theta _{i}=1-{\frac {\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mu _{2}\varepsilon _{2}}}$

$\sin ^{2}\theta _{i}={\frac {{\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}}{{\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}}}$

$\sin \theta _{i}={\sqrt {\frac {{\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}}{{\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}}}}$

Para el angulo de brewster se puede considerar que: $\mu _{2}=\mu _{1}$

$\sin \theta _{i}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}}{{\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}}-{\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}}}}$

$\sin \theta _{i}={\sqrt {\frac {\frac {\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}}}{\frac {\varepsilon _{2}^{2}-\varepsilon _{1}^{2}}{\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}}}}}$

$\sin \theta _{i}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{1}\left(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}\right)}{\varepsilon _{2}^{2}-\varepsilon _{1}^{2}}}}$

$\sin \theta _{i}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{1}\left(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}\right)}{\left(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}\right)\left(\varepsilon _{2}+\varepsilon _{1}\right)}}}$

En este punto se demostró de donde sale la ecuacion 3.27 cuando $\mu _{2}=\mu _{1}$

$sin\left(\theta _{B}\right)={\sqrt {\frac {\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}}$

En segundo lugar, para el caso en el que la onda se propague en el espacio libre se usa la ecuacion 3.28 y la 3.24.

$sin\left(\theta _{B}\right)={\frac {\sqrt {\varepsilon _{r}-1}}{\sqrt {\varepsilon _{r}^{2}-1}}}$Ec. 3.28

$\Gamma _{\parallel }={\frac {-\varepsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}{\varepsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}}$Ec. 3.24

Polarización vertical

$0={\frac {-\varepsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}{\varepsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}}}$

$0=-\varepsilon _{r}\sin \theta _{i}+{\sqrt {\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}$

$\varepsilon _{r}\sin \theta _{i}={\sqrt {\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}}}$

$\left(\varepsilon _{r}\sin \theta _{i}\right)^{2}=\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}$

$\varepsilon _{r}^{2}\sin \theta _{i}^{2}=\varepsilon _{r}-\cos ^{2}\theta _{i}$

$\varepsilon _{r}^{2}\sin \theta _{i}^{2}=\varepsilon _{r}+\sin ^{2}\theta _{i}-1$

$\varepsilon _{r}^{2}\sin \theta _{i}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}=\varepsilon _{r}-1$

$\left(\varepsilon _{r}^{2}-1\right)\sin ^{2}\theta _{i}=\varepsilon _{r}-1$

$\sin ^{2}\theta _{i}={\frac {\varepsilon _{r}-1}{\varepsilon _{r}^{2}-1}}$

En este punto se demostró de donde sale la ecuacion 3.28 par el uso en espacio libre.

$\sin \theta _{i}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{r}-1}{\varepsilon _{r}^{2}-1}}}$

Demostración de la ecuación 3.20

La demostración de la ecuación presentada en el libro Rappaport, la ecuación 3.20

${\frac {E_{r}}{E_{i}}}={\frac {\eta _{2}\sin \theta _{t}-\eta _{1}*\sin \theta _{i}}{\eta _{2}\sin \theta _{t}+\eta _{1}*\sin \theta _{i}}}$

Partiendo de la ecuacion presentada anteriormente, empezaremos a hacer el analisis mediante la grafica b de la pagina 452 del libro de Matthew.

$\varepsilon _{i}=\varepsilon _{0}+\varepsilon _{r}$

$z<0=\varepsilon _{1},G_{1},\mu _{1}$
$z>0=\varepsilon _{2},G_{2},\mu _{2}$

$\varepsilon _{i}=H_{i}$
$H_{i}=B_{i}\ \sin {(\theta _{i})}$
$B_{i}=\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}$

$\varepsilon _{r}=H_{r}$
$H_{r}=B_{r}\ \sin {(\theta _{r})}$
$B_{r}=\omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}$

$\varepsilon _{t}=H_{t}$
$H_{t}=B_{t}\ \sin {(\theta _{t})}$
$B_{t}=\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}$

$E_{i}+-E_{r}=E_{t}$
$E_{i}=E_{r}+E_{t}$
$E_{r}=E_{i}\ -\ E_{t}$
$E_{t}=E_{i}\ -\ E_{r}$
$E_{i}=E_{i}\ -\ E_{t}+E_{i}\ -\ E_{r}$
$E_{r}\ +E_{t}=E_{i}\ -\ E_{t}+E_{i}\ -\ E_{r}$

$B_{r}\sin(\theta _{r})\ +\ B_{t}\sin(\theta _{t})\ =\ B_{i}\sin(\theta _{i})\ -\ B_{t}\sin(\theta _{t})\ +\ B_{i}\sin(\theta _{i})\ -\ B_{r}\sin(\theta _{r})\$
$0=-B_{r}\sin(\theta _{r})\ +\ B_{t}\sin(\theta _{t})\ +\ B_{i}\sin(\theta _{i})\ -\ B_{t}\sin(\theta _{t})\ +\ B_{i}\sin(\theta _{i})\ -\ B_{r}\sin(\theta _{r})$
$\theta _{r}\ =\ \theta _{i}$
$B_{t}\sin(\theta _{t})\ -\ B_{i}\sin(\theta _{i})\ =\ -\ \omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\sin(\theta _{r})\ -\ \omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin(\theta _{t})\ +\ \omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin(\theta _{i})\ -\ \omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin(\theta _{t})\$
$\omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin(\theta _{t})\ -\ \omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin(\theta _{i})\ =-\ \omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\ \sin(\theta _{r})-\ \omega {\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin(\theta _{t})+\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin(\theta _{i})\ -\ \omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\ \sin(\theta _{r})\$
$\omega ({\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin(\theta _{t})\ -\ \omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin(\theta _{i}))\ =-2\ \omega {\sqrt {\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\ \sin(\theta _{r})-\ \omega ({\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}\sin(\theta _{t})+\omega {\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}\sin(\theta _{i}))\$
$\eta _{1}={\sqrt {\mu _{i}\varepsilon _{i}}}$

$\eta _{2}={\sqrt {\mu _{t}\varepsilon _{t}}}$
$\omega (\eta _{2}\sin(\theta _{t})-\eta _{1}\sin(\theta _{i}))=-\omega _{i}\ \sin(\theta _{i})+\omega _{r}\sin(\theta _{r})-\ \omega (\eta _{2}\sin(\theta _{t})+\eta _{1}\sin(\theta _{i}))$
$\omega \sin {\theta _{i}}(\eta _{2}\sin {\theta _{t}}-\eta _{1}\sin {\theta _{i}})\ /\ \eta _{1}\ \sin {\theta _{i}}\ +\sin {\theta _{t}}\ =\ \omega +\omega B_{r}\sin {\theta _{r}}$

$\eta _{2}\sin {\theta _{t}}-\eta _{1}\sin {\theta _{i}})/(\eta _{1}\sin {\theta _{i}}+\eta _{2}\sin {\theta _{t}})=B_{r}\sin {\theta _{r}}/B_{i}\sin {\theta _{i}}$

$E_{i}=B_{i}\sin {\theta _{i}}$
$E_{r}=B_{r}\sin {\theta _{r}}$
Realizando los cambios correspondientes obtendremos la siguiente ecuacion:
$\mathrm {\Gamma } _{I}={\frac {\varepsilon _{r}}{\varepsilon _{i}}}={\frac {\eta _{2}\sin {(\theta _{t})-\eta _{1}\sin {(\theta _{i}))}}}{\eta _{2}\sin {(\theta _{t})+\eta _{1}\sin {(\theta _{i}))}}}}$

Demostración ecuación 3.24

$\eta _{1}={\sqrt {\frac {\mu }{\epsilon _{0}}}}*\eta _{2}={\sqrt {{\frac {\mu }{\epsilon }}_{2}}}$

${\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}\sin {90-\theta _{i}}={\sqrt {\epsilon _{2}\mu _{0}}}sin{90-\theta _{t}}$

${\sqrt {\frac {\mu _{0}\epsilon _{0}}{\mu _{0}\epsilon _{2}}}}\sin {(90-\theta _{i})}=\sin {(90-\theta _{t})}$

${\sqrt {\frac {\epsilon _{0}}{\epsilon _{2}}}}\sin {(90-\theta _{i})}=\sin {(90-\theta _{t})}$

Entidades trigonométricas

$\sin {(90-\theta _{i})}=\cos {\theta _{i}}$

$\cos ^{2}{\theta _{i}}=1-\sin ^{2}{(90-\theta _{i})}$

$({\sqrt {\frac {\epsilon _{0}}{\epsilon _{2}}}}*\cos {\theta _{i}}=\cos {\theta _{t}})^{2}$

${\frac {\epsilon _{0}}{\epsilon _{2}}}\cos ^{2}{\theta _{i}}=\cos ^{2}{\theta _{t}}$

${\frac {\epsilon _{0}}{\epsilon _{2}}}\cos ^{2}{\theta _{i}}=1-\sin ^{2}{(\theta _{t})}$

$\sin ^{2}{(\theta _{t})}=1-{\frac {\epsilon _{0}}{\epsilon _{2}}}\cos ^{2}{\theta _{i}}$

$({\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{0}}})\sin ^{2}{(\theta _{t})}=1-{\frac {\epsilon _{0}}{\epsilon _{2}}}\cos ^{2}{\theta _{i}}({\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{0}}})$

Permitividad del vacío:

$\epsilon _{r}={\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{0}}}$

$\epsilon _{r}\sin ^{2}{\theta _{t}}=\epsilon _{r}-\cos ^{2}{\theta _{i}}$

${\sqrt {(\epsilon _{r}\sin ^{2}{\theta _{t}}=\epsilon _{r}-\cos ^{2}{\theta _{i}})}}$

${\sqrt {\epsilon _{r}}}\sin {\theta _{t}}={\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}{\theta _{i}}}}$

$\Gamma _{||}={\frac {\eta _{2}sin\theta _{t}-\eta _{1}sin\theta _{i}}{\eta _{2}sin\theta _{t}+\eta _{1}sin\theta _{i}}}$

$\Gamma _{||}={\frac {{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}{\theta _{i}}}}-\epsilon _{r}\sin {\theta _{i}}}{{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}{\theta _{i}}}}+\epsilon _{r}\sin {\theta _{i}}}}$

$\Gamma _{||}={\frac {-\epsilon _{r}\sin {\theta _{i}}+{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}{\theta _{i}}}}}{{\sqrt {\epsilon _{r}-\cos ^{2}{\theta _{i}}}}+\epsilon _{r}\sin {\theta _{i}}}}$

Se demuestra la ecuación 3.24

ESTE PROGRAMA REALIZA LA OPERACIÓN DE LA FUNCIÓN GAMA

import keyword;
#keyword.iskeyword('pass')
import keyword
import math
from Lxtx2 import *
print('Coeficiente de reflexión')
print('presione 1 para continuar')
S=int(input())
if (S==1):
    print('ingrese Efectividad relativa:') 
    Er=int(input())
    print('ingrese theta: ')
    T=int(input())
   
    #print (Er, T)
    Gamma(Er,T)

(
import keyword;
keyword.iskeyword('pass')
import keyword
import math 

def Gamma(Er,T):\\

    print ("en grados es:", math.radians(T))

    n=(math.sin(math.radians(T))- math.sqrt(Er-(math.cos(math.radians(T))**2))) 
    d=(math.sin(math.radians(T))+ math.sqrt(Er-(math.cos(math.radians(T))**2))) 
     divi=n/d
    posi=abs(divi)
    print("Gama perpendicular es:",posi)
(
import keyword;
keyword.iskeyword('pass')
import keyword
import math 

def Gamma(Er,T):
    print ("en grados es:", math.radians(T))
    n=(-Er*math.sin(math.radians(T))+ math.sqrt(Er-(math.cos(math.radians(T))**2))) 
    d=(Er*math.sin(math.radians(T))+ math.sqrt(Er-(math.cos(math.radians(T))**2
    divi=n/d
    posi=abs(divi)
    print("Gama paralelo es:",posi)
    )

• Estructura elaborada por los estudiantes Héctor Javier Vega Lozano, Esther Alexandra Ramos Arias, Ferney Genaro Vazques. Estudiantes de octavo semestre de Ingeniería Electrónica en la Universidad de Cundinamarca.