Problemario de Señales y Sistemas/Sistemas realimentados

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Problemario de Señales y Sistemas

Sistemas realimentados

En esta sección se estudian sistemas realimentados. En la parte de electrónica estos sistemas son muy importantes ya que, sacrificando parte de la ganancia total se puede aumentar al ancho de banda y permitir mayor estabilidad del sistema.

Problemas

Problema #1

Considere el sistema realimentado que se muestra en la figura

La relación entre la entrada y salida del sistema $H(s)\,$ está dada por:

${\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}+5{\frac {dy(t)}{dt}}-6y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}+2x(t)\,$

El otro bloque $K\,$ es una simple ganancia.

Determine:

El diagrama de polos y ceros de $H(s)\,$
Usando Routh Hurwitz, el rango de valores de $K\,$ que hacen al sistema estable
Calcule la función de transferencia del lazo realimentado (lazo cerrado) en función de $K\,$
Seleccione un valor de $K\,$ que haga al sistema estable y redibuje el diagrama de polos y ceros
Para el mismo valor de $K\,$ dibuje los diagramas de Bode real y aproximación en línea recta del lazo realimentado
Haga un estimado, en función del polo dominante, del tiempo esperado de respuesta (establecimiento) del sistema a lazo cerrado y grafique la respuesta a un escalón del lazo

Si la relación entrada salida del sistema $H(s)\,$ cambia a:

${\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}+5{\frac {dy(t)}{dt}}-6y(t)={\frac {dx(t)}{dt}}-2x(t)\,$

¿cambiará el rango de $K\,$ para asegurar la estabilidad? Justifique su respuesta.
¿cambiará el diagrama (Bode) de magnitud del lazo cerrado? Justifique su respuesta y dibuje el nuevo diagrama si hace falta.
¿cambiará el diagrama (Bode) de fase?. Justifique su respuesta y grafique el nuevo diagrama si hace falta.
¿cambiará sensiblemente el tiempo de respuesta? Justifique su respuesta
¿qué cambio en la respuesta temporal esperaría del nuevo sistema? Justifique su respuesta y grafique la respuesta al escalón del lazo.

Subsección 1

Realizado por: Luis E. D'Elias. Carnet: 05-38061

En primera instancia, nos damos cuenta de que el operador S equivale al operador diferencial, por lo que la relación para $H(s)\,$ queda: $(s^{2}+5s-6)Y(s)=(s+2)X(s)\,$ De aquí podemos obtener

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {s+2}{s^{2}+5s-6}}={\frac {s+2}{(s+6)(s-1)}}\,$

El diagrama de polos y ceros sería

Con esto podemos ver que hay un polo en -6 y en +1. Al haber un polo en el semiplano derecho, sabemos que el sistema será inestable.

Realizado por: Adriana Carolina Corredor. Carnet:06-39396

Se llega a la conclusión que la ecuación diferencial se escribe en forma de Laplace de la siguiente forma: $S^{2}Y(S)+5SY(S)-6Y(S)=SX(S)+2X(S)\$

Por lo que agrupando términos, queda: ${\frac {Y(S)}{X(S)}}={\frac {S+2}{S^{2}+5S-6}}$

$H(S)={\frac {S+2}{S^{2}+5S-6}}$

Por lo tanto, tendremos un polo en -6 y en 1. Considerándose un sistema inestable al tener un polo en el semiplano positivo.

Subsección 2

Realizado por: Victor Hernandez. Carnet: 05- 38316

Como se puede observar el sistema es del tipo Retroalimentado y cumpliendo con la formula

$T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}$ , además considerando la ganancia K y el $G(s)={\frac {k(S+2)}{s^{2}+5s-6}}={\frac {K(s+2)}{(s+6)(s-1)}}\,$

Nos quedaria los siguiente:

$T(s)={\frac {K(s+2)}{s^{2}+(5+k)s-6+2k}}\,$

En este punto aplicamos la Tecnica de Routh-Hurtwitz tenemos:

${\begin{matrix}s^{2}&1&-6+2K\\s^{1}&5+K\\s^{0}&-6+2K\end{matrix}}$

Finalmente, para la obtencion de un sistema estable es necesario que $5+K>0$ , y $-6+2K>0$ por lo cual $K>-5$ y $K>3$ , la prioridad entonces es $K>3$ (la ganancia K>3 asegura mas estabilidad que el sistema inicial inestable por su polo=1 en la parte real).

Realizado por: Adriana Carolina Corredor. Carnet:06-39396

Al ser un sistema realimentado se tiene lo siguiente: ${\frac {KH(S)}{1+KH(S)}}$

Por lo tanto queda el sistema de esta forma:

${\frac {K(S+2)}{S^{2}+(5+K)S+(2K-6)}}$

Haciendo el criterio de ROUTH-HURWITZ se tiene que: 5+K>0 y que -6+2K>0

Por lo que K>-5 y K>3

Por lo que se concluye que cuando K>3 el sistema es ESTABLE.

Subsección 2

Realizado por: Luis E. D'Elias. Carnet: 05-38061

Ahora procederemos a calcular la función de transferencia de lazo cerrado. Recordando que si el sistema realimentado es $G(s)\,$ la función de transferencia de lazo cerrado $T(s)\,$ será

$T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}\,$

Para nosotros, $G(s)\,$ será $KH(s)\,$ . Así, después de los cálculos pertinentes, obtendremos:

$T(s)={\frac {K(s+2)}{s^{2}+(5+K)s-6+2K}}\,$

Aplicamos el arreglo de Routh Hurwitz al polinomio del denominador

${\begin{matrix}s^{2}&1&-6+2K\\s^{1}&5+K&0\\s^{0}&b_{1}&0\end{matrix}}$

Sabemos que $b_{1}={\frac {(5+K)(-6+2K)}{5+K}}=-6+2K\,$

Sabiendo el valor de $b_{1}\,$ podemos determinar las condiciones de $K\,$ para que no hayan cambios de signo en la columna 1.

De esta manera,

$5+K>0\,$ lo que implica que $K>-5\,$

Análogamente

$-6+2K>0\,$ lo que implica que $K>3\,$ , la cuál será la condición que impondremos para que el sistema sea estable.

Subsección Problema 1

Realizado por: José Velásquez #05-39032

Parte 1

A partir de la relación entre la entrada y la salida dada por la ecuación diferencial, tenemos en el dominio laplaciano:

$Y(s)\ (s^{2}+5s-6)=X(s)\ (s+2)\,$

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {s+2}{s^{2}+5s-6}}\,$

Para la función de transferencia $\ H(s)\,$ , la $Gananciada\ DC=-{\frac {1}{3}}\,$

Adicionalmente,

$Z_{1}=-2;\ P_{1}=-6;\ P_{2}=1\,$

A continuación se presenta un diagrama de polos y ceros de la función de transferencia $\ H(s)\,$

Ahora procedemos a calcular la función de transferencia del lazo cerrado generada por el sistema retroalimentado $\ T(s)\,$ :

$T(s)={\frac {Y(s)}{R(s)}}={\frac {KH(s)}{R(s)}}={\frac {KH(s)}{1+KH(s)}}={\frac {\frac {K(s+2)}{s^{2}+5s-6}}{1+{\frac {K(s+2)}{s^{2}+5s-6}}}}={\frac {K(s+2)}{s^{2}+(K+5)s+2K-6}}\,$

Usando Routh Hurwitz, planteamos el arreglo:

${\begin{matrix}s^{2}&1&2(K-3)\\s^{1}&5+K\\s^{0}&2(K-3)\end{matrix}}$

$K+5>0\Rightarrow \ K>-5$

$2(K-3)>0\Rightarrow \ 2K-6>0\Rightarrow \ K>3$

Entonces los valores de $\ K\,$ validos son los pertenecientes al intervalo $\ K>3\,$ .

Para un valor de $\ K=7\,$ se tiene que la función de transferencia del sistema está dada por,

$T(s)={\frac {7(s+2)}{s^{2}+12s+8}}\,$

Para la nueva función de transferencia $\ T(s)\,$ , la $Gananciada\ DC={\frac {7}{4}}\,$

$Z_{1}=-2;\ P_{1}=-6-2{\sqrt {7}};\ P_{2}=2{\sqrt {7}}-6\,$

A continuación se presenta un diagrama de polos y ceros de la función de transferencia $\ T(s)\,$ ,

A continuación se presentan los diagramas de Bode(Magnitud y Fase) para el sistema $\ T(s)\,$ ,

-Bode Real:

-Bode usando Aproximación en Linea Recta:

Para hacer un estimado del tiempo de respuesta (establecimiento) del sistema $\ T(s)\,$ , usamos el polo dominante, el cual esta dado por el polo más cercano al eje imaginario,

En este caso usamos $\ P_{2}=2{\sqrt {7}}-6$

Entonces,

${}_{\!}t_{trans}=4\tau =4{\frac {1}{P_{2}}}=4{\frac {1}{2{\sqrt {7}}-6}}\approx 2,83\ Segundos\,$

Finalmente, la respuesta al escalón del lazo cerrado(graficamente) será:

Parte 2

Si la relación entrada salida del sistemas $\ H(s)\,$ cambian por la Segunda Ecuación Diferencial se tiene:

$Y(s)\ (s^{2}+5s-6)=X(s)\ (s-2)\,$

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {s-2}{s^{2}+5s-6}}\,$

Para la función de transferencia $\ H(s)\,$ , la $Gananciada\ DC={\frac {1}{3}}\,$

Adicionalmente,

$Z_{1}=2;\ P_{1}=-6;\ P_{2}=1\,$

A continuación se presenta un diagrama de polos y ceros de la función de transferencia $\ H(s)\,$

Ahora procedemos a calcular la función de transferencia del lazo cerrado generada por el sistema retroalimentado $\ T(s)\,$ :

$T(s)={\frac {Y(s)}{R(s)}}={\frac {KH(s)}{R(s)}}={\frac {KH(s)}{1+KH(s)}}={\frac {\frac {K(s-2)}{s^{2}+5s-6}}{1+{\frac {K(s-2)}{s^{2}+5s-6}}}}={\frac {K(s-2)}{s^{2}+(K+5)s-2K-6}}\,$

Usando Routh Hurwitz, planteamos el arreglo:

${\begin{matrix}s^{2}&1&-2(K+3)\\s^{1}&5+K\\s^{0}&-2(K+3)\end{matrix}}$

Para determinar los valores de $\ K\,$ que permiten que el sistema sea estable, hay que evitar que existan cambios de signos en la primera columna de términos del arreglo, por lo tanto:

$K+5>0\Rightarrow \ K>-5$

$2(-K-3)>0\Rightarrow \ -2K-6>0\Rightarrow \ K<-3$

Entonces los valores de $\ K\,$ validos son los pertenecientes al intervalo $(-5,-3)\,$ , lo que evidencia que el rango de $\ K\,$ validos cambia.

Para un valor de $\ K=-4\,$ se tiene,

$T(s)={\frac {-4(s-2)}{s^{2}+s+2}}\,$

Para la función de transferencia $\ T(s)\,$ , la $Gananciada\ DC=4\,$

A continuación se presentan los diagramas de Bode(Magnitud y Fase) para el sistema $\ T(s)\,$ del nuevo lazo, el cual se diferencia a los diagramas Bode presentados en la parte 1, debido a que se tienen polos complejos conjugados.

-Bode Real:

-Bode usando Aproximación en Linea Recta:

Debido a que se tienen polos complejos conjugados, se utiliza la parte real de dichos polos para determinar el tiempo transitorio:

${}_{\!}t_{\mbox{trans}}=4\tau =4{\frac {1}{Re{P_{2}}}}=4{\frac {1}{\frac {1}{2}}}\approx 8\ Segundos\,$ , lo cual se diferencia notablemente con el tiempo obtenido para el sistema $\ T(s)\,$ de la primera parte.

Finalmente, se puede concluir que se espera obtener una respuesta oscilante que se estabilice en aproximadamente 8 segundos. Por lo tanto, la respuesta al escalón del lazo cerrado(graficamente) será:

Problema #2

Considere el sistema realimentado que se muestra en la figura

En este caso:

$G(s)={\frac {5}{s(s+1)}}\,$

Determine la función de transferencia $T(s)={\frac {Z(s)}{R(s)\,}}$ del sistema realimentado
¿Cuáles son los valores de $K$ que hacen al sistema realimentado estable?
Con $K=1$ determine los polos y el ancho de banda del sistema realimentado
Repita el punto anterior con $K=10$ , ¿cuál de los dos sistemas es más rápido?, ¿por qué?
Grafique la respuesta de ambos sistemas a un escalón unitario

Subsección solución 1

Realizado por: Adriana Gonzalez. Carnet: 04-37059

A partir del sistema realimentado se obtienen las siguientes ecuaciones:

$X(s)G(s)=Y(s),\ (1)$

$Y(s)K=Z(s),\ (2)$

$R(s)-Z(s)=X(s),\ (3)$

De las ecuaciones anteriores se obtiene la función de transferencia $T(s)={\frac {Z(s)}{R(s)}}$ :

Al sustituir la ecuacion (2) en la ecuacion (1) queda:

$X(s)G(s)={\frac {Z(s)}{K}}$

$X(s)={\frac {Z(s)}{KG(s)}}$

La ecuacion anterior se sustituye en la ecuacion (3) y se obtiene:

$R(s)-Z(s)={\frac {Z(s)}{KG(s)}}$

${\frac {Z(s)}{KG(s)}}+Z(s)=R(s)$

$Z(s)\left({\frac {1}{KG(s)}}+1\right)=R(s)$

${\frac {Z(s)}{R(s)}}=T(s)={\frac {1}{{\frac {1}{KG(s)}}+1}}$

Sustituyendo el valor de G(s):

$T(s)={\frac {1}{{\frac {s(s+1)}{5K}}+1}}$

$T(s)={\frac {1}{\frac {s(s+1)+5K}{5K}}}$

Y así:

$T(s)={\frac {5K}{s^{2}+s+5K}}$

Realizado por: Adriana Carolina Corredor. Carnet:06-39396

Debido a que es un sistema realimentado, se tiene lo siguiente: $T(S)={\frac {K(G(S))}{(1+K(G(S)))}}$

Haciendo los calculos se obtiene que el sistema es: ${\frac {5K}{S^{2}+S+5K}}$

Haciendo el criterio de ROUTH-HURWITZ se llega a la conclusión que: 5K>0 para que la primera columna de la matriz no cambie de signo, y así el sistema sea estable.

Así, K>0 para garantizar la ESTABILIDAD del sistema.

Subsección Solución 2

Por: Oriana Vásquez 04-37692

2. Para que el sistema sea estable se puede aplicar el arreglo de Routh Hurtwitz, en el cual debe cumplirse que en la primera columna no haya cambios de signos ni ceros.

${\begin{matrix}s^{2}&1&5k\\s^{1}&1&0\\s^{0}&5k&0\end{matrix}}$

$\ 5k>0\Rightarrow$ $\ k>0$

Se tiene que para todo K mayor a cero el sistema es estable.

Subsección Solución 3

Por: Oriana Vásquez 04-37692

3. $T(s)={\frac {5}{s^{2}+s+5}}$

Los polos del sistema se obtienen hallando las raíces del polinomio del denominador.

$\ p_{1}=-0.5+j2.18$

$\ p_{2}=-0.5-j2.18$

y el ancho de banda del sistema:

$\ T(0)=1$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\left|T(j\omega _{bw})\right\vert$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {5}{\sqrt {\omega _{bw}^{4}-9\omega _{bw}^{2}+25}}}$

$\ \omega _{bw}=3.35rad/seg$

Subsección Solución 4

Por: Oriana Vásquez 04-37692

4. $T(s)={\frac {50}{s^{2}+s+50}}$

$\ p_{1}=-0.5+j7.05$

$\ p_{2}=-0.5-j7.05$

$\ T(0)=1$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\left|T(j\omega _{bw})\right\vert$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {50}{\sqrt {\omega _{bw}^{4}-99\omega _{bw}^{2}+2500}}}$

$\ \omega _{bw}=6.51rad/seg$

Aunque ambos sistemas culminan los efectos transitorios al mismo tiempo, el segundo es más rápido ya que, el aumento en la ganancia ocasiona una mayor frecuencia del ancho de banda, lo cual produce un retardo por las oscilaciones.

Subseccion 5

Pregunta #5. Oswaldo Gonzalez #0335981

Para k = 10 tenemos la siguiente respuesta al escalon: $y_{1}0(t)=(1+0.5012*2*e^{-0.5t}*cos(7.0534t+175.9456))u(t)\,$

Archivo:KKK10.jpg

Para k = 1 tenemos la siguiente respuesta al escalon: $y_{1}(t)=(1+0.577*2*e^{-0.5t}*cos(0.866+150.058))u(t)\,$

Archivo:KKK1.jpg

Problema #3

Los sistemas que se muestran a continuación se incluyen en un esquema de realimentación como el que se muestra en la figura . En cada caso determine el rango de valores de K positivos que hacen al sistema estable. En cada caso seleccione un valor de K que asegure que el sistema de lazo cerrado sea o bien más rápido que el sistema sin realimentación o que asegure la estabilidad. En todos los casos (salvo de inestabilidad) calcule y grafique la respuesta de los sistemas (abierto y cerrado) y compárelas.

$H_{1}(s)={\frac {s+1}{s^{2}+2s+5}}\,$
$H_{2}(s)={\frac {s-1}{s^{2}+2s+5}}\,$
$H_{3}(s)={\frac {s+1}{s^{2}-2s+5}}\,$

Subsección 1

Tomás Chiesa 05-38031

Para calcular el rango de valores de K positivos que hacen el sistema estable, debemos primero calcular Y(s)

$Y(s)=X(s)H(s)$

$X(s)=Z(s)K(s)$

$Z(s)=R(s)-Y(s)$

Luego despejando:

$Y(s)=Z(s)K(s)H(s)$

$Z(s)=R(s)-Z(s)K(s)H(s)$

$Z(s)={\frac {R(s)}{1+K(s)H(s)}}$

1) $Y_{1}(s)={\frac {K{\frac {s+1}{s^{2}+2s+5}}}{1+K{\frac {s+1}{s^{2}+2s+5}}}}$

al simplificar obtenemos que:

$Y_{1}(s)={\frac {k(s+1}{s^{2}+(2+k)s+5+k}}$

Para ver si el sistema es estable aplicamos el criterio de Routh Hurwitz:

${\begin{matrix}s^{2}&1&(5+k)\\s&(2+k)&0\\s^{0}&(5+k)&0\end{matrix}}$

Como sabemos, para obtener los valores de k debemos asegurarnos que en la primera columna de terminos no hayan cambios de signo:

$(2+k)>0=>k>-2$

$(5+k)>0=>k>-5$

Como nos piden los valores para que el sistema sea estable para un k positivo conlcuimos que para que este sistema sea estable:

${\big (}k>0)$

2) $Y_{1}(s)={\frac {K{\frac {s-1}{s^{2}+2s+5}}}{1+K{\frac {s-1}{s^{2}+2s+5}}}}$

al simplificar obtenemos que:

$Y_{2}(s)={\frac {k(s-1}{s^{2}+(2+k)s+5-k}}$

Para ver si el sistema es estable aplicamos el criterio de Routh Hurwitz:

${\begin{matrix}s^{2}&1&(5-k)\\s&(2+k)&0\\s^{0}&(5-k)&0\end{matrix}}$

Como sabemos, para obtener los valores de k debemos asegurarnos que en la primera columna de terminos no hayan cambios de signo:

$(2+k)>0=>k>-2$

$(5-k)>0=>k<5$

Como nos piden los valores para que el sistema sea estable para un k positivo conlcuimos que para que este sistema sea estable:

${\big (}0<k<5)$

3) $Y_{1}(s)={\frac {K{\frac {s+1}{s^{2}-2s+5}}}{1+K{\frac {s+1}{s^{2}-2s+5}}}}$

al simplificar obtenemos que:

$Y_{3}(s)={\frac {k(s+1}{s^{2}+(2+k)s+5+k}}$

Para ver si el sistema es estable aplicamos el criterio de Routh Hurwitz:

${\begin{matrix}s^{2}&1&(5+k)\\s&(k-2)&0\\s^{0}&(5+k)&0\end{matrix}}$

Como sabemos, para obtener los valores de k debemos asegurarnos que en la primera columna de terminos no hayan cambios de signo:

$(2+k)>0=>k>2$

$(5+k)>0=>k>-5$

Como nos piden los valores para que el sistema sea estable para un k positivo conlcuimos que para que este sistema sea estable:

${\big (}k>2)$

Realizado por: Adriana Carolina Corredor. Carnet:06-39396

Al ser un sistema realimentado de esa forma, se puede colocar su ecuación como: ${\frac {KH}{(1+KH)}}$

Para $H(S_{1})={\frac {S+1}{S^{2}+2S+(5+K)}}$

Haciendo el criterio de ROUTH-HURWITZ se obtiene lo siguiente que: K+5>0 y que K+2>0

Al final quedaría que K>-5 y que K>-2 como son valores de K positivos (así lo piden en el enunciado de la pregunta) entonces se garantiza estabilidad del sistema cuando K>0.

Para $H(S_{2})={\frac {S-1}{S^{2}+2S+(5+K)}}$

Haciendo el criterio de ROUHT-HURWITZ se obtiene que K+2>0 y que 5-K>0

Al final se obtiene que K>-2 y K<5. Como son los K positivos, entonces el sistema es estable cuando 0<K<5.

Para $H(S_{3})={\frac {S+1}{S^{2}-2S+(5+K)}}$

Haciendo el criterio de ROUTH-HURWITZ se obtiene que K-2>0 y que K+5>0.

Resolviendo esas inecuacion se obtiene que el rango de estabilidad del sistema es para K>2 y K>5. Por lo que por intersección de ambas inecuaciones, K debe ser K>5 para conseguir la estabilidad del sistema.