Problemario de Señales y Sistemas/Respuesta temporal de sistemas II

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Respuesta temporal de sistemas[editar]

Considere el sistema que se muestra Signal1.png en el que y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso (la función de transferencia) del sistema es:

Determine:

  1. La respuesta del sistema a una entrada escalón unitario
  2. La respuesta del sistema a
  3. Para determinar las respuesta frecuencial del sistema sólo se requiere substituir, en la función de transferencia , ¿por qué?. Dibuje el diagrama de Bode de magnitud y fase del sistema. Determine el ancho de banda del sistema.
  4. Si, modificando los parámetros del sistema, usted desea hacer que el sistema sea más rápido, y puede elegir entre llevar el polo que está en -1 a -0.1 ó a -5, ¿cuál configuración elegiría y por qué?. ¿que sucede con el ancho de banda del sistema?

Subsección solución 1[editar]

Por: Elaine Rojas carnet:0437523

1.

Tenemos que , si entonces tenemos que:

, así mismo sabemos que:

Sabiendo que , tenemos que:

Hacemos descomposición por fracciones simples:

+ +

Tenemos que: , ,

De donde tenemos que: + +

Ademas sabemos que la transformada de Laplace de es ,.

Entonces aplicando la transformada inversa de Laplace a tenemos que:

, t>0

Subsección Solución 2[editar]

Por: Sarah Spadavecchia #04-37632

como luego Ahora sabemos que: Luego tenemos que entonces queda: Ahora descomponemos en fracciones simples: + + + Luego tenemos que los coeficientes son:

Ahora escribimos

+ + +

Sabemos que la transformada de Laplace de una función del tipo es

Aplicando la transformada inversa a encontramos que :

+ + ,t>0

Subsección Solución 3[editar]

Por: Hugo Negrette carnet: 04-37339

A partir de la función de transferencia:   

Podemos obtener la respuesta frecuencial, si sustituimos s=σ+jw, con σ=0. Es decir llevamos la función de transferencia que obtenemos con Laplace, a una respuesta frecuencial que se obtiene con fourier, haciendo sigma igual a cero.

 => 

DIAGRAMA DE BODE:

MAGNITUD:

Archivo:Magnitudnew.PNG

FASE:

Archivo:Fasenew.PNG



Subseccion solucion pregunta 4[editar]

Oswaldo Gonzalez #0335981


Buscaremos primero la respuesta general a la siguiente función de transferencia siendo X el polo a ser desplazado:

 


Hacemos descomposición por fracciones simples obteniendo:

+


y

Sabemos que la transformada de Laplace de es , por lo que anti-transformando obtenemos:

por lo tanto:

Se debe escoger el mayor valor de posible, entiéndase , para que los efectos transitorios del sistema desaparezcan lo mas rápido posible. De tal manera las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

     
 +  


Para encontrar el ancho de banda del sistema tenemos que:

por definicion tenemos

consiguiendo,luego de simplificar, el siguiente polinomio :

haciendo el cambio obtenemos la siguiente ecuación cuadrática:

cuyas raices son y

asi, devolviendo el cambio, se encuentra como valida unicamente pues debe ser real y positiva.

Por lo tanto el ancho de banda aumenta significativamente.