Problemario de Señales y Sistemas/Operaciones con Señales

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Problemario de Señales y Sistemas


Operaciones con Señales[editar]

En esta sección colocamos problemas sobre operaciones con señales (suma, resta, multiplicación y, cuando se pueda, división) y operaciones sobre la variable independiente.

Problemas[editar]

Problema 1 02 08[editar]

Considere las siguientes señales fundamentales: ; ; ;

Realice las siguientes operaciones y grafique sus respuestas. En cada caso calcule Promedio, Área Absoluta, Energía y Potencia:

  1. , con K=3. ¿Qué sucede cuando K tiende a infinito?
  2. , con K=3 y T=2. ¿Qué sucede cuando K tiende a infinito?.
  3. Repita el problema anterior con T=1.
  4. , con K=3.
  5. . Compare las señales x7 y x8. ¿Cuál es la diferencia?

Solucion Problema 1.1 y 1.2[editar]

a) # . (Resuelto por Gilfredo Remon 06-40153).

La grafica de la señal es: Senal1a.jpg

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

b) # . (Resuelto por: JABG 06-40153).

La grafica es:

Senal1b.jpg

  1. .
  2. .
  3. .(Corregido por F.Omar)
  4. .
  5. .

Problema 3 02 08[editar]

Considere la señal , y sea , . Calcule y grafique las partes pares e impares de z1(t).

Realizado por: Adriana Carolina Corredor. Carnet 06-39396[editar]

Toda señal puede ser representada como la suma de su parte par más su parte impar


Para



Parte Par:


Por lo que, la parte par sera:



Como se puede observar en esta señal, la parte par es igual a la señal como tal, siendo la parte impar

LA SEÑAL ES COMPLETAMENTE PAR[editar]



Para

Archivo:Imagen4.jpg

Parte Par:


Por lo que, la parte par sera:



Como se puede observar en esta señal, la parte par es igual a la señal como tal, siendo la parte impar


LA SEÑAL ES COMPLETAMENTE PAR[editar]



Para


Parte Par:


Como esta señal es la suma de dos señales pares, entonces esta señal debe ser par. Claro que se puede observar que y que la parte impar es cero.



Como se puede observar en esta señal, la parte par es igual a la señal como tal, siendo la parte impar

LA SEÑAL ES COMPLETAMENTE PAR[editar]




Por: Daniel Sanchez 06-40306

La parte par es:

La parte impar es:

Las graficas son: Parte Par



Parte Impar

Problema 4 02 08[editar]

Para las señales que se listan a continuación, indique cuáles son de energía y cuáles de potencia (en el caso de que lo fueran).

Problema 5 02 08[editar]

Evalúe las siguientes operaciones:

  1. .

Solucion del Problema # 5: Marianela Mendoza 06-39906.

Estas operaciones se resolvieron aplicando propiedades del impulso y el doblete. Impulso: Las integrales que llevan impulsos multiplicando funciones son sencillas de resolver, esto se debe a sus propiedades.

  1. siendo b cualquier numero.

De la manera siguiente se obtuvieron los resultados: Procedimeinto: Se multiplica la delta por la funcion (es decir, evalua la funcion en donde existe la delta), y luego, lo que queda es una constante multiplicando la delta, finalmente la integral de lo que queda es esa constante, tal como se muestra en los ejercicios.

  1. .
  2. .
  3. .

Doblete: Propiedades del doblete, mostradas a continuacion son las herramientas que se utilizaron para la resolucion de las siguientes integrales.

  1. siendo b cualquier numero.

Igual que en la parte anterior, aplicando estas propiedades se resuelven las integrales.

  1. .
  2. .

Problema 1[editar]

En un sistema lineal e invariante en el tiempo, la relación entre la entrada () y la salida () es:

Determine:

  1. La respuesta al impulso () del sistema.
  2. La respuesta al pulso (): Amplitud 1, centrado en el origen y duración 1).



Solución Problema 1[editar]

Propuesta de solucion: Damian Vigouroux 17/05/2007 05-39044

Parte 1.

  Trabajando con el impulso: 

Por lo tanto : ... usando las propiedades del impulso

Entonces la respuesta al impulso será:



Parte 2. Conociendo la respuesta al impulso del sistema (LTI) podemos carecterizar su comportamiento ante cualquier señar de entrada específicamente a:

En este caso si t E(-0.5,0.5) y cero para todo lo demás

Sea t < 1.5

Un análisis gráfico del producto muestra que y(t) es cero

Sea 1.5 < t < 2.5

En este caso

Sea 2.5 > t

Definiendo la region común, distinta de cero de las gráficas:

Luego la respuesta a del sistema será la unión de y(t) en los tres intervalos anteriores.


Problema 2[editar]

Repita el problema anterior si la relación entrada salida cambia a:


Solución Problema 2[editar]

Realizado por: José Velásquez #05-39032


1) Tenemos que la respuesta al impulso () del sistema esta dada por:



Comenzamos empleando las propiedades del impulso para determinar :


Por la propiedad de escalamiento del impulso se tiene que:



Entonces,



Utilizando la propiedad de filtrado del impulso:



De esta manera,



2) Tenemos que la respuesta al pulso (amplitud 1, centrado en el origen y duración 1) esta da por:


(Propiedad conmutativa de la convolución)



Siendo la respuesta del sistema al pulso inicialmente mencionado.


Problema 3[editar]

Considere el sistema modulador que se muestra en la figura, en el que la moduladora es

Modulador.png

Determine la respuesta del sistema () cuando en la entrada se aplica:

Solución Problema 3[editar]

Realizado por: José Velásquez #05-39032


1) La respuesta del sistema (y(t)) cuando en la entrada se aplica:



Teniendo en cuenta la señal moduladora,



Empleando la propiedad del producto del impulso:



Se obtiene entonces,




Esto se trata de un tren de impulsos cuyas intensidades estan dadas por la señal moduladora evaluada en


2) La respuesta del sistema (y(t)) cuando en la entrada se aplica:



Teniendo en cuenta la misma señal moduladora,





A partir de esto y de un análisis gráfico,



Esto representa un tren de senoides de ancho 1 y período igual a 8.


Problema 4[editar]

Considere las señales , y

y sea

Calcule y grafique cuando

  1. T=1
  2. T=0.2

Solución 1 Problema 4[editar]

Realizado por: Jesús Querales #05-38758


1.


  • La señal tiene forma de curva gaussiana y su valor en t=0 es


La gráfica de se muestra en la siguiente figura:


Fig1 problema4.gif


  • El pulso tiene altura 1 y ancho 0.2, representado en la siguiente figura:


Archivo:Fig2 problema4.gif


  • La señal


Donde,


y



Luego,



Se representa en la siguiente figura:


Fig3 problema4.gif

Problema 5[editar]

Considere la señal , calcule:

  1. La frecuencia y el período fundamentales
  2. La energía, potencia, promedio, valor RMS y área absoluta en un período

Solución Problema 5[editar]

Realizado por: José Velásquez #05-39032


1. La frecuencia fundamental está dada por:



De esto, el período fundamental resulta:



2. Para el análisis y la compresión de esta parte se presentan tres gráficas ilustrativas. En cada imagen se sombrea el área debajo la curva en un período .



Graph01.jpg



Graph 2.jpg



Graph03.jpg


  • La Energía en un período viene dada por:



  • La Potencia en un período viene dada por:



  • El Promedio en un período viene dado por:



  • El valor RMS viene dado por:



Y finalmente el Área absoluta viene dada por:


Problema 6[editar]

Evalúe las siguientes expresiones:

Solución Problema 6[editar]

Realizado por: Orlando Díaz #05-38117


1)


Utilizando las propiedades de la tenemos que:



Luego, la propiedad de filtrado de es:



Utilizando esta propiedad en el problema resulta en que:



2)


Trabajaremos primero con la parte interna de la integral, por propiedades obtenemos:



Analicemos el resultado, es una función que es para y para , por tanto solo existe en . Al multiplicar esta función por implica simplemente producir un cuya altura es el valor de en . Por tanto nos queda.:



Así que, nuestra integral original resulta en:


El impulso es la derivada de la función escalón, así que la integral de un impulso es un escalón que comienza donde existe el impulso, por tanto la respuesta es:



3)


El doblete esta definido como la derivada del impulso. Si trabajamos con sus propiedades obtendremos:



La propiedad de filtrado del doblete nos dice que:



Aplicándolo en nuestro problema hayamos la solución:


4)

Realizado por Julio Aguilar Carnet: 06-39117

El doblete esta definido de la siguiente manera:

cero (0) para todo "t" distinto de cero y


Sus propiedades son las siguientes:

(1)


(2)

(3)

Aplicando la tercera propiedad se tiene que:

y luego la primera propiedad tenemos que:

Integrando y aplicando la definicion se tiene que la primera parte es igual a cero:

La segunda parte queda: