Problemario de Señales y Sistemas/Modulación de señales y respuesta de sistemas LTI

Problemas

Problema #1

Considere el sistema que se muestra en el que la señal de entrada, $x(t)\,$, es modulada por una señal $p(t)\,$ para producir la señal $z(t)(=x(t)p(t))\,$. La señal $z(t)\,$ pasa a través de un sistema lineal invariante en el tiempo cuya respuesta el impulso es $h(t)\,$.

Se desea que determine y grafique el par: $(z(t),Y(j\omega ))\,$.

En este caso $h(t)=3e^{-5t}u(t)\,$, $p(t)=\cos(2\pi t)\,$ y $x(t)=\left\{{\begin{matrix}1&0<t<0.5\\0&0.5<t<1\end{matrix}}\right.$, que se repite cada segundo.

Subsección de Solución 1

Por: Pedro Torruella #04-37657

Graficamente tenemos que x(t) es un tren de pulsos, al modularla con p(t) nos queda Z(t):

$z(t)=cos(2\pi t)\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }u(t-k)-u(t-k-0.5)\qquad (1)$

Resulta más sencillo trabajar en el dominio de la frecuencia, se deben obtener los coeficientes de la serie de fourier para z(t). Esto por medio de

$An=\int _{\mathrm {T} }z(t)\cdot e^{-jn\omega _{o}t}\,dt\qquad \qquad (2)$

$An=\int _{0}^{0.5}cos(2\pi t)\cdot e^{-jn\omega _{o}t}\,d\tau \qquad \qquad (3)$

Despues de integrar por partes y despejar, obtengo:

$z(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot e^{jn\omega _{o}t}\qquad \qquad (4)$

Aplicando la transformada de Fourier obtengo

$Z(J\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)\qquad \qquad (5)$

Ahora solo multiplico por H(jw) para obtener Y (jw)

$Y(J\omega )=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {jn}{2\pi (1-n)}}\cdot \left[e^{jn\pi }+1\right]\cdot 2\pi \delta (\omega -2\pi n)\right]\cdot {\frac {3}{5+j\omega }}\qquad \qquad (6)$

-- falta graficar las funciones...