Mecánica cuántica/Representaciones del momento angular

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

¿El momento angular puede tomar otros valores?

Queremos encontrar todas las matrices que pueden describir el momento angular en MC.

Se define . (podéis comprobarlo)

Puedo definir simultánente y

Es conveniente definir los operadores escalera

Propiedades:

La idea es construir una base tomando un primer vector y luego actuando con J+ y J-. Si el nuevo vector es independiente lo podremos incluir en la base y lo utilizaremos para seguir obteniendo nuevos vectores.

Vamos a demostrar que

  • es propio de con el mismo valor propio que .

Además

  • es propio de

He empezado por el vector y aplicando y normalizando nos permite encontrar el vector , que es proporcional a . Volvemos a aplicar para obtener , y así hasta que . Entonces .

es vector propio de (v.p. a) y de (val. propio )

Todos los vectores son propios de con valor propio .

Redefinimos

En particular

Y ahora

El módulo de

La diferencia es el número de saltos que se han dado.

Es decir, es entero o semientero.

Hemos demostrado que

Y

  • Podríamos haber elegido una base de estados propios de y

lo cual es equivalente a diagonalizar .

  • Hemos encontrado las representaciones "irreducibles" del momento angular, pero la suma de dos representaciones irreducibles también es una representación.

Si las dos matrices lo verifican, ésta más grande también verifica las relaciones de conmutación:

Son vectores sin momento angular bien definido (al medir podría salir uno u otro).