Mecánica cuántica/Representación de posiciones

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El operador posición[editar]

La posición de una particula viene dada por un valor propio del operador (vectorial) posición

La base ortonormal de es

donde

y

etiqueta a todos los puntos del espacio

Ortonormalidad[editar]

Clausura[editar]

Módulo de

debe ser una función cuadrado sumable

Hay un isomorfismo entre y .

La función de onda de es . Esto quiere decir que la delta de Dirac no puede ser considerado un estado físico sin cambiar el postulado correspondiente. Hay que hacer algo a lo que ya volveremos.

Operador de traslación[editar]

Se define el operador de translación (unitario) como

Hay un conjunto continuo de operadores de traslación

¿Por qué es unitario?

Las traslaciones se pueden componer

Conjunto de las forman un grupo continuo o de Lie ya que la composición de dos traslaciones es una traslación, se respeta la propiedad asociativa, existe elemento identidad y existe elemento inverso .

El generador de las traslaciones[editar]

Se define el generador de las traslaciones a partir de la traslación infinitesimal.

Caso 1-dimesional[editar]

Una traslación infinitesimal desplaza un poquito los vectores que estan sobre una recta.

donde es el operador generador de las traslaciones.

Si es un operador unitario, K es un operador hermítico.

El signo depende de la definición, en algunos libros ponen .

¿Qué es un diferencial?

Igualando las dos expresiones de T(x+dx) se tiene

con la condición

¿Cómo acúta...?

Comparando estas dos expresiones deducimos como actúa el conmutador

(solo se ha aplicado la definición de y utilizado los resultados de arriba)

Os propongo que demostréis esto:

Y esto es igual que lo que tengo a la derecha

Multiplicando por

Si os creéis que los operadores se definen a partir de sus relaciones de conmutación, esos dos operadores son lo mismo. Son operadores "distintos" pero actúan igual sobre todos los vectores de la base.

El momento lineal "es" el generador de las traslaciones en la dirección .

Esto último aún no lo podeis entender, pero es una frase crítica.

Fijaos que

El momento de la partícula me dice cómo se comporta cuando hago traslaciones, o viceversa.

Esto va a ser muy importante en el capítulo 4, el momento va a tener importancia en cómo se trasladan las cosas.

Caso 3-dimensional[editar]

La demostración en 3 dimensiones es igual