Mecánica cuántica/Representación de momentos

$P_{i}$ es el generador de traslaciones en la dirección $x_{i}$

$T(dx_{i})={\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}P_{i}dx_{i}$

$T(dx)={\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}(P_{x}dx+P_{y}dy-P_{z}dz)$

$\mathbb {H} :\{{\vec {x}}\}$

Caso 1-dimensional

$T(dx)|x\rangle =|x+dx\rangle$

$({\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}Pdx)|x\rangle =|x+dx\rangle$

$P|x\rangle ={\frac {|x+dx\rangle -|x\rangle }{dx}}i\hbar$

$\langle x|P^{\dagger }=\langle x|P=-i\hbar {\frac {\langle x+dx|-\langle x|}{dx}}$

¿Cómo actúa P sobre el estado $|\Psi \rangle$?

$\langle z|P|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }dx'\langle x|P|x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle$

${\mathcal {I}}0\int _{-\infty }^{\infty }dx'|x'\rangle \langle x'|$

$=i\hbar {\frac {\langle x+dx|-\langle x|}{dx}}\int dx'|x'\rangle \Psi (x')$

$=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx'{\frac {\langle x+dx|x\rangle }{dx}}\Psi (x')$

$=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx'{\frac {-\overbrace {\langle x|x'\rangle } ^{\delta (x-x')}}{dx}}\Psi (x')$

$=i\hbar \left({\frac {\Psi (x+dx)-\Psi (x)}{dx}}\right)$

$=i\hbar {\frac {df}{dx}}=\langle x|P|\Psi \rangle$

Recapitulemos:

Cuanto tenemos un estado $|\alpha \rangle$ en el caso discreto (que es lo que estamos haciendo)

$|\alpha \rangle \doteq {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \end{pmatrix}}$

$\alpha _{i}=\langle e_{i}|\alpha \rangle \quad {\text{(componente i de }}|\alpha \rangle {\text{ )}}$

$A|\alpha \rangle \doteq {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots \\&&\\&&\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\\\end{pmatrix}}$

Componente $i$ de $A|\alpha \rangle$ es $\langle e_{i}|A|\alpha \rangle$

$\{|x\rangle \}\ continuo$

$|\Psi \rangle \doteq \Psi (x)$

$P|\Psi \rangle \doteq -i\hbar {\frac {d\Psi (x)}{dx}}$

El operador momento si utilizo la base de las $x$ es

$P\doteq -i\hbar {\frac {d}{dx}}$

3-dimensiones

${\vec {P}}\doteq -i\hbar \nabla$

$=-i\hbar \left(P_{x},P_{y},P_{z}\right)$

Os dejo que os convenzáis de que en una dimensión

$\langle X\rangle _{\Psi }=\langle \Psi |X|\Psi \rangle =\int dx\Psi ^{*}(x)x\Psi (x)$

$\langle P\rangle _{\Psi }=\langle \Psi |P|\Psi \rangle =\int dx\Psi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {d\Psi (x)}{dx}}\right)$

$\langle X_{i}\rangle _{\Psi }=\langle \Psi |X_{i}|\Psi \rangle =\int d^{3}x\Psi ^{*}({\vec {x}})x_{i}\Psi ({\vec {x}})$

$\langle P_{i}\rangle _{\Psi }=\langle \Psi |P_{i}|\Psi \rangle =\int d^{3}x\Psi ^{*}({\vec {x}})\left(-i\hbar {\frac {\partial \Psi ({\vec {x}})}{\partial x_{i}}}\right)$

Alternativamente podría haber usado una base de estados $\{{\vec {p}}\}$ propios de ${\vec {P}}$ (representación de momentos)

${\vec {P}}|{\vec {p}}\rangle ={\vec {p}}|{\vec {p}}\rangle$ $P_{i}|{\vec {p}}\rangle =p_{i}|{\vec {p}}\rangle$

$\langle {\vec {p}}|{\vec {p}}\rangle =\delta ^{3}({\vec {p}}-{\vec {p}}\ ')=\Pi _{i}\delta (p_{i}-p_{i}')$

$\int d^{3}p|{\vec {p}}\rangle \langle {\vec {p}}|$

$|\Psi \rangle$ su función de onda en esa representación se etiqueta

${\hat {\Psi }}({\vec {p}})=\langle {\vec {p}}|\Psi \rangle$

$\Psi ({\vec {x}})=\langle {\vec {x}}|\Psi \rangle$

$\langle \Psi |\Psi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}p{\hat {\Psi }}({\vec {p}})^{*}{\hat {\Psi }}({\vec {p}})$

$=\int d^{3}p|{\hat {\Psi }}(p)|^{2}=1$

¿Cómo se expresan los estados $|{\vec {p}}\rangle$ en la base $\{|{\vec {x}}\rangle \}$ y viceversa?

$p(x)=\langle x|p\rangle$

$\langle x|P|p\rangle \langle x|p|p\rangle \quad {\text{(la }}p{\text{ saldría fuera)}}$

$-i\hbar {\frac {dp(x)}{dx}}=pp(x)$

$p(x)=Ne^{{\frac {i}{\hbar }}px}$

$\langle p'|p\rangle =\delta (p'-p)$

$\int dxNe^{-{\frac {i}{\hbar }}p'x}Ne^{{\frac {i}{\hbar }}p_{x}}$

$=\int dxN^{2}e^{{\frac {i}{\hbar }}(p-p')x}$

Como sabemos que

$\delta (p)={\frac {1}{2\pi }}\int dxe^{ixp}$

No se qué momentos bien definidos

$p(x)=\langle x|p\rangle$

$p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}$

$\langle {\vec {x}}|{\vec {p}}\rangle ={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$

¿Función de onda de $|{\vec {x}}\rangle$ en la representación de momentos?

$\langle p|x\rangle =\langle x|p\rangle ^{*}={\frac {1}{2\pi \hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}$

Caso 3-dimensional

$\langle {\vec {p}}|{\vec {x}}\rangle =\langle {\vec {x}}|{\vec {p}}\rangle ^{*}$

$\to$ ¿Cómo se relacionan las funciones de onda $\Psi (x)$ y ${\hat {\Psi }}(p)$?

$\Psi (x)=\langle x|\Psi (x)\rangle$

${\hat {\Psi }}(p)=\langle p|x\rangle =\int dx\langle p|x\rangle \langle x|\Psi \rangle =\int dx{\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}\Psi (x)$

${\hat {\Psi }}(p)={\mathcal {F}}[\Psi (x)]$

$\Psi ({\vec {x}})=\langle {\vec {x}}|\Psi \rangle$

${\hat {\Psi }}({\vec {p}})=\int dx{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {x}}\cdot {\vec {p}}}\Psi (x)$

${\mathcal {F}}^{-1}[{\hat {\Psi }}(p)]$

La transformada ${\mathcal {F}}$ está definida para distribuciones

$|x_{0}\rangle \rightarrow f(x)=\langle x|x_{0}\rangle =\delta (x-x_{0})$

¿Función de onda en representación de posiciones? ${\mathcal {F}}[\delta (x-x_{0})]={\hat {f}}(p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int dxe^{-{\frac {i}{\hbar }}px\delta (x-x_{0})}$

${\hat {f}}(p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px_{0}}$

Probabilidad de obtener P y obtener $p\pm {\frac {\Delta p}{2}}$

$\int dp|{\hat {f}}(p)|^{2}$

$\left|{\hat {f}}(p)\right|^{2}\quad {\text{densidad de probilidad}}$

$\Rightarrow$ El módulo al cuadrado de la función de onda en la representación de momentos da el módulo de la densidad de probabilidad de encontrar la partícula.

$|{\hat {f}}(p)|^{2}\quad {\text{( }}p{\text{ ilocalizado)}}$

Deben cumplir la relación de incertidubre de Heissemberg

$\Delta _{\Psi }X\cdot \Delta _{\Psi }P\geq {\frac {\hbar }{2}}.$

¿Son estos vectores realmente estados físicos?\\

$\{|x\rangle \}$, $\{|x\rangle \}$

$X|x\rangle =x|x\rangle$, $\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$

Realmente no, pues no son cuadrado sumables y su módulo no está bien definido. Los necesito únicamente como base de mi espacio de Hilbert, sin son estados físicos os lo dejo a vosotros.

Siempre se puede aproximar una gaussiana tanto como se quiere a la delta de Dirac.

$\Longrightarrow$ Para una gaussiana se obtiene que

$\Delta _{\Psi }X\cdot \Delta _{\Psi }P={\frac {\hbar }{2}}$

"Es la mejor de las distribuciones"

$\Psi (x)=\langle x|\Psi \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}{\sqrt {d}}}}e^{ikx-{\frac {x^{2}}{2d^{2}}}}$ $=...e^{ikx}e^{-{\frac {x^{2}}{2d^{2}}}}$ Es una gaussiana....

$\Longrightarrow$

• $p\approx k\hbar$
• $\Delta p\approx {\frac {\hbar }{2}}$
• $x\approx 0$
• $\Delta x\approx d$