Mecánica cuántica/Postulado de simetrización

Los estados de $n$ partículas idénticas son totalmente simétricas o antisimétricas bajo el intercambio de dos cualquiera de ellas (trasposiciones). En el primer caso se dice que las partículas obedecen la estadística de Bose-Einstein y se denominan bosones.

${\begin{pmatrix}i&j\end{pmatrix}}|n{\text{ bosones idénticos}}\rangle =+|n{\text{ bosones idénticos}}\rangle$

donde por el primer lado de la ecuación es igual también a $|i_{1}\ldots i_{n}\rangle _{s}$.

En el segundo caso se dice que satisfacen la estadística de Fermi-Dirac (fermiones):

${\begin{pmatrix}i&j\end{pmatrix}}|n{\text{ fermiones idénticos}}\rangle =-|n{\text{ fermiones idénticos}}\rangle$

donde por el primer lado de la ecuación se puede igualar tambien a $|i_{1}\ldots i_{n}\rangle _{a}$

• Es un hecho empírico que NO existen sistemas de partículas idénticas de simetría mixta o sin simetría.
• Conexión spin-estadistica: Las partículas de spin semientero $({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots )$ son fermiones y las de spin entero $(0,1,2,\ldots )$ son bosones.

La Teoría Cuántica de Campos (relativista) supera a la Mecanica Cuántica (Novel) pues en esta última es necesario postular dicha conexión.

• Consecuencia: Principio de exclusión de Pauli

Electrón, $s={\frac {1}{2}}$: fermión $\Rightarrow$ No es posible tener dos electrones en el mismo estado cuántico.

Imaginemos

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}|aa\rangle =|aa\rangle$

$\Rightarrow$ ¡Simétrico!, y no puede ser al tratarse de fermiones.

• Para ilustrar el comportamiento de fermiones y bosones consideremos el siguiente ejemplo:

Supongamos dos partículas que pueden encontrarse en dos estados $|a\rangle$ y $|a'\rangle$

• Si las dos partículas no son idénticas el sistema puede encontrarse en los siguientes estados:

$\mathbb {\{} |aa\rangle ,|aa'\rangle ,|a'a\rangle ,|a'a'\rangle \}\quad {\text{ base}}$

Si son fermiones idénticos debo antisimetrizar su estado $s_{2}=\{e,{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\}$

$\underbrace {a} _{antisimetrizador}|aa\rangle ={\frac {1}{2}}\left(|aa\rangle -|aa\rangle \right)=0$

$a|aa'\rangle ={\frac {1}{2}}(|aa'\rangle -|a'a\rangle )=0{\stackrel {norm.}{\Rightarrow }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|aa'\rangle -|a'a\rangle )=|aa'\rangle _{a}$

$a|a'a\rangle =0\quad {\text{¿Es el mismo?}}$

$a|a'a'\rangle =0\quad {\text{ son menos *sonables*}}$

• Si son bosones idénticos debo "simetrizar"

$s={\frac {1}{2}}\left[e+{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}\right]$

$S|aa\rangle =|aa\rangle$

$S|aa'\rangle \Rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|aa'\rangle +\underbrace {|a'a\rangle } _{|aa'\rangle _{s}}\right)$

$S|a'a'\rangle =|a'a'\rangle$

• A temperaturas bajas las partículas tienden a ocupar el estado fundamental de energía.

Bosones $\to$ Condiciones de Bose-Enstein

• Supongamos que conocemos el espectro de energías de una partícula escalar (bosón) sometida a un cierto potencial.

$H|\phi _{n}\rangle =E_{n}|\phi _{n}\rangle$

$|\phi _{n}\rangle \doteq \phi _{n}(x)$

$\Rightarrow$ El espectro de energías del sistema formado por dos partículas, si no hay interacción entre ellas, es

$|\phi _{nm}\rangle =|\phi _{n}\rangle \otimes |\phi _{m}\rangle$

$H=H_{1}+H_{2}$

$H|\phi _{nm}\rangle =(E_{n}+E_{m})|\phi _{n}\phi _{m}\rangle ;\;\phi _{nm}(x_{1},x_{2})=\phi _{n}(x_{1}),\phi _{m}(x_{2})$

Simetrizamos el estado:

$S|\phi _{n}\phi _{m}\rangle \to {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\phi _{n}\phi _{m}\rangle +|\phi _{m}\phi _{n}\rangle )\equiv |\phi _{n}\phi _{m}\rangle _{s}$

$\phi _{nm}^{S}(x_{1},x_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\phi _{n}(x_{1})\cdot \phi _{m}(x_{2})+\phi _{m}(x_{1})\phi _{n}(x_{2})\right]$

El estado de mínima energía: $2E_{0}=E_{0}+E_{0}$

$|\phi _{0}\phi _{0}\rangle _{s}\doteq \phi _{0}(x_{1})\phi _{0}(x_{2}){\text{ esto sería el estado }}|\phi _{0}\phi _{0}\rangle$