Mecánica cuántica/Operadores y observables

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Observables[editar]

En un Stern-Gerlach se mide la componente z del spin de un átomo de plata.

  • La componente z del spin es un observable.

Un observable es cualquier cosa que se puede medir en Mecánica Cuántica.

Postulado 2: Cada observable se representa en Mecánica Cuántica mediante un operador lineal autoadjunto que actúa sobre el espacio de Hilbert del sistema físico considerado.

  • Un operador es algo que transforma un vector en otro vector peteneciente al mismo espacio de Hilbert.
  • Un operador lineal cumple
  • El adjunto de un operador , , es tal que
  • Un operador autoadjunto es tal que:
  • Los operadores se pueden componer
  • Cumplen la propiedad asociativa
  • El operador suma de dos operadores se define como: . Esta es una definición para cualquier operador, es independiente de la linealidad.
  • Para saber cómo actúa A sobre un vector de H es suficiente especificar cómo actúa sobre cada vector de la base (ya que todo vector se puede expresar como combinación lineal de vectores de la base)
  • Para especificar como actúa un operador lineal sobre los vectores de una base sólo se necesita una matriz.

  • Para recordar el producto de matrices nota que los subíndices no están cruzados

Ejercicio: Sea un operador lineal sobre con base

¿cómo actúa sobre el resto de vectores?

Se constuye la matriz (que depende de la base)


  • ¿Cómo actúa A sobre un elemento del dual ?

Como es un número complejo, definimos la acción de sobre

como aquella para la que se obtiene el mismo resultado que al realizar

Podemos por tanto omitir los paréntesis de este producto escalar.

  • Se deduce que .
  • es independiente de la base (por lo que no usamos el símbolo )

  • ¿Qué es un operador adjunto ?

Hemos establecido que el dual de es , pero el dual de NO es , sino .

  • es la matriz transpuesta y complejo-conjugada

Nota matemática: Dados y

  • Un observable es un operador autoadjunto o hermítico (la diferencia entre ambos conceptos es demasiado sutil).

Medidas[editar]

Postulado 3: Sea un operador que actúa sobre un espacio de Hilbert y una base ortonormal de vectores propios de con autovalores o valores propios

Dado un sistema físico caracterizado por un vector unitario , al medir el observable se obtendrá como resultado alguno de los valores propios de . Además, la probabilidad de obtener el valor propio es

  • si es no degenerado (no repetido)

donde se ha usado el hecho de que

  • Los proyectores son operadores idempotentes (una vez que se proyecta un vector, las siguientes proyecciones no modifican el resultado)

  • Si el valor propio es degenerado

la probabilidad de obtener el valor propio es

  • Cuando sumas proyectores te quedan proyectores sobre un espacio más grande.
  • La suma sobre todo el espacio es la identidad.
  • Los valores propios de un operador hermítico (autoadjunto, ) son reales.
  • Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.
  • Podemos constuir base una de autovectores de .
  • Dos vectores con valor propio distinto son ortogonales.
  • Si dos vectores tienen el mismo valor propio, entonces cualquier combinación lineal también es un vector propio con el mismo valor propio

Consideremos el operador y una base de estados propios de

Este operador no es la identidad ya que está delante. Este operador actúa sobre la base del espacio igual que el operador

Postulado 4: Si al medir el observable al estado obtenemos el valor propio , el sistema tras la medida viene descrito por el estado

es un vector unitario del subespacio con valor propio a (en dirección de la proyección de ) sobre ese subespacio.

Si no es degenerado

Si es degenerado

Conjunto completo de observables que Conmutan(CCOC)[editar]

  • Dos operadores son compatibles si su conmutador es 0

  • Si dos operadores NO son compatibles no pueden ser diagonalizados simultáneamente (no existe una base con los autoestados de y los de ).
  • Si dos matrices no conmutan No se pueden diagonalizar simultáneamente.
  • Si dos matrices conmutan Existe una base de vectores propios de ambos operadores ,
  • Algunos de los valores propios de y pueden ser degenerados (, ).
  • Los operadores compatibles y forman un conjunto completo si en la base de autoestados de y todos los vectores propios tienen al menos un valor propio (de ó ) distinto. Ejemplo:

Solo con un operador no puede definirse cualquier estado, pero con los dos sí.\\

Se dice que un conjunto de operadores sobre el mismo espacio de Hilbert forman un CCOC si

Los operadores son compatibles (conmutan). La base ortonormal de vectores propios comunes es única excepto fases. El conjunto es minimal: La condición anterior falla si elimino alguno de los operadores.

  • Si A tuviera los mismos autovalores no sería necesario B para un CCOC.

Valor esperado y relaciones de indeterminación[editar]

Si clásicamente medimos la longitud de una barra podemos obtener

El valor que deberemos asignar a la longitud de la barra es el valor promedio

Se define el valor esperado (o medio) del operador para el estado como

La probabilidad de obtener al medir es .

Si se realiza la medida a "muchos" estados , entonces es el valor promedio del observable (la Mecánica Cuántica es algo más que pura estadística)

La indeterminación en A para el estado se define como el valor esperado de la desviación respecto al valor medio

  • Si es propio de entonces
  • Si un vector es propio de , también es propio para cualquier potencia de ese operador, en particular para , con valor propio Para cualquier estado se verifica la relación de indeterminación

  • Si A y B conmutan puede haber estados en los que ambas sean cero.
  • Si no conmutan no es posible que alguno sea cero. Ejemplo:

Encontrar que