Mecánica cuántica/La matriz densidad

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La matriz densidad [editar]

La matriz densidad se utiliza para caracterizar a un conjunto de estados.

  • Conjunto puro: Todos los estados vienen descritos por el mismo vector .
  • Conjunto mezcla: Tengo estados descritos por

donde hemos introducido

como la frecuencia del conjunto (que no estado) caracterizado por .

El valor medio de un observable medido sobre el conjunto se puede escribir (esta vez sí es un estadístico) en términos de la matriz densidad:

La matriz densidad caracteriza completamente a la colectividad

  • es la frecuencia del estado .
  • Tras medir el observable todos los estados del sistema habrán pasado a ser un vector propio de . ¿Cuál es la probabilidad de obtener al medir a solamente un objeto de la colectividad?

El paso de la última línea se ha podido llevar a cabo ya que

  • Si el proyector es no degenerado.
  • Si el proyector es degenerado.

Tras medir el observable a algún estado , si se ha obtenido el valor propio , el estado pasa a ser

Si es no degenerado

  • Si medimos a todos los elementos de la colectividad y seleccionamos aquellos con valor propio , la matriz densidad de ese conjunto es

¿Cuál es la probabilidad de al obtener un estado ...?

  • Probabilidad de obtener : .
  • Si he tomado el estado pasará a ser

con probabilidad

Postulado 4 (según Galindo Pascual): Si al medir a una colectividad se encuentra el valor propio , la proyección de la colectividad sobre el subespacio de valor propio viene descrito por

  • Si mezclo la colectividad con la colectividad , la matriz densidad resultante es

donde

Para una colectividad genérica:

  • no es un proyector.

Si tenemos una colectividad pura

  • es un proyector
  • .
  • .
  • Sus autovalores son cero o uno.
  • puede ser mayor que la dimensión de .