Mecánica cuántica/La matriz densidad

La matriz densidad $\rho$

La matriz densidad se utiliza para caracterizar a un conjunto de estados.

• Conjunto puro: Todos los estados vienen descritos por el mismo vector $|\alpha \rangle$.
• Conjunto mezcla: Tengo $N$ estados $N_{i}$ descritos por $|\alpha ^{(i)}\rangle$

$N=\sum N_{i}=\sum \omega _{i}N$ donde hemos introducido $\omega _{i}$

$\omega _{i}\equiv {\frac {N_{i}}{N}}$

como la frecuencia del conjunto (que no estado) caracterizado por $|\alpha ^{(i)}\rangle$.

El valor medio de un observable $A$ medido sobre el conjunto se puede escribir (esta vez sí es un estadístico) en términos de la matriz densidad:

${\begin{matrix}\langle A\rangle _{c}&=&{\frac {\sum _{i}N_{i}\langle A\rangle _{i}}{N}}\\&=&\sum _{i}\omega _{i}\langle \alpha ^{(i)}\underbrace {|} _{1=\sum _{b}|b\rangle \langle b|}A\underbrace {|} _{1=\sum _{b'}|b'\rangle \langle b'|}\alpha ^{(i)}\rangle \\&=&\sum _{i,b,b'}\omega _{i}\langle \alpha ^{(i)}|b\rangle \langle b|A|b'\rangle \langle b'|\alpha ^{(i)}\rangle \\&=&\sum _{b,b'}\langle b'|\underbrace {\left(\sum _{i}\omega _{i}|\alpha ^{(i)}\rangle \langle \alpha ^{(i)}|\right)} _{\text{Matriz densidad}}|b\rangle \langle b|A|b'\rangle \\&=&\sum _{b,b'}\underbrace {\langle b'|\rho |b'\rangle } _{{\text{Elemento }}\rho _{bb'}}\langle b|A|b'\rangle \\&=&\sum _{b,b'}\rho _{bb'}A_{bb'}=\sum _{b'}(\rho \,A)_{bb'}\\\langle A\rangle _{c}&=&tr(\rho \,A)\end{matrix}}$

La matriz densidad caracteriza completamente a la colectividad

$\rho \equiv \sum _{i}\omega _{i}|\alpha ^{(i)}\rangle \langle \alpha ^{(i)}|$

• $\omega _{i}|\alpha ^{(i)}\rangle$ es la frecuencia del estado $i$.
• Tras medir el observable $A$ todos los estados del sistema habrán pasado a ser un vector propio de $A$. ¿Cuál es la probabilidad de obtener $a$ al medir $A$ a solamente un objeto de la colectividad?

${\begin{matrix}\omega _{a}&=&\sum _{i}\underbrace {\langle a|\alpha ^{(i)}\rangle } _{\alpha _{a}^{(i)}}\underbrace {\langle \alpha ^{(i)}|a\rangle } _{\alpha _{a}^{(i)*}}=\langle a|\rho |a\rangle =\rho _{aa}\\&=&\sum _{i}\langle \alpha ^{(i)}\underbrace {|a\rangle \langle a|} _{P_{a}=P_{a}^{2}}\alpha ^{(i)}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \alpha ^{(i)}|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle \\&=&\sum _{i,b}\omega _{i}\langle \alpha ^{(i)}|P_{a}|b\rangle \langle b|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle \\&=&\sum _{b}\langle b|P_{a}\underbrace {(\sum _{i}\omega _{i}|\alpha ^{(i)}\rangle \langle \alpha ^{(i)}|)} _{\rho }P_{a}|b\rangle \\&=&\sum _{b}(P_{a}\,\rho \,P_{a})_{bb}=tr(P_{a}\,\rho \,P_{a})\\&=&tr(\rho \,P_{a}\,P_{a})=tr(\rho P_{a})\quad {\text{(a degenerado o no)}}\\\end{matrix}}$

El paso de la última línea se ha podido llevar a cabo ya que

${\begin{matrix}tr(A\,B)&=&\sum _{i}(A\,B)_{ii}=\sum _{ij}A_{ij}B_{ji}=\sum _{ij}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j}(B\,A)_{jj}\\&=&tr(B\,A).\end{matrix}}$

• Si el proyector es no degenerado. $\Rightarrow$ $P_{a}=|a\rangle \langle a|.$
• Si el proyector es degenerado. $\Rightarrow$ $P_{a}=\sum |a_{i}\rangle \langle a_{i}|.$

Tras medir el observable $A$ a algún estado $|\alpha ^{(i)}\rangle$, si se ha obtenido el valor propio $a$, el estado pasa a ser

$|\alpha ^{(i)}\rangle {\stackrel {A,a}{\rightarrow }}|a^{(i)}\rangle ={\frac {P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle }{\left|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle \right|}}.$

Si es no degenerado

$|\alpha ^{(i)}\rangle {\stackrel {A,a}{\rightarrow }}|a^{(i)}\rangle =\left|a\right\rangle .$

• Si medimos $A$ a todos los elementos de la colectividad y seleccionamos aquellos con valor propio $a$, la matriz densidad de ese conjunto es

$\cdots$

¿Cuál es la probabilidad de al obtener un estado ...?

• Probabilidad de obtener $|\alpha ^{(i)}\rangle$: $\omega _{i}$.
• Si he tomado $|\alpha ^{(i)}\rangle$ el estado pasará a ser

$|a^{i}\rangle ={\frac {P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle }{\left|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle \right|}}$

con probabilidad $|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle |^{2}.$

$\rho ={\frac {\omega _{i}|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle |^{2}}{(\sum _{j}\omega _{j}|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle |^{2}}}\;\;{\begin{matrix}{\frac {P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle }{|P_{a}|\alpha ^{(i)}\rangle |}}\\{\frac {\langle \alpha ^{(i)}|P_{a}}{\langle \alpha ^{(i)}|P_{a}|}}\end{matrix}}$

$\rho =\sum _{i}\omega _{i}|\alpha ^{(i)}\rangle \langle \alpha ^{(i)}|\quad {\text{(que deben verificar }}\sum \omega _{i}=1{\text{)}}$

$\rho ={\frac {P_{a}\,\rho \,P_{a}}{tr(\rho \,P_{a})}}.$

Postulado 4 (según Galindo Pascual): Si al medir $A$ a una colectividad $\rho$ se encuentra el valor propio $a$, la proyección de la colectividad sobre el subespacio de valor propio $a$ viene descrito por

$\rho ={\frac {P_{a}\,\rho \,P_{a}}{tr(\rho \,P_{a})}}$

• Si mezclo la colectividad $\rho _{1}$ con la colectividad $\rho _{2}$, la matriz densidad resultante es $\rho =\omega _{1}\rho _{1}+\omega _{2}\rho _{2}$

donde $\omega _{i}={\frac {N_{i}}{\sum N_{i}}}.$

Para una colectividad genérica:

• $tr(\rho )=1$
• $\rho ^{\dagger }=\rho$
• $\omega _{a}=\rho _{aa}$
• $\sum \omega _{a}=1$
• $tr(\rho ^{2})\leq 1$
• $\rho ^{2}\neq \rho$ $\Rightarrow$ $\rho$ no es un proyector.

Si tenemos una colectividad pura

• $\rho$ es un proyector
• $\rho ^{2}=\rho$.
• $tr(\rho ^{2})=1$.
• Sus autovalores son cero o uno.
• $\#\;|\alpha ^{(i)}\rangle$ puede ser mayor que la dimensión de $\mathbb {H}$.