Mecánica cuántica/Introducción a la teoría de colisiones

El mundo lo entendemos a base de colisiones ya sea enviando luz, partículas u otras cosas contra el mundo microscópico. Entender la teoría de colisiones es fundamental desde un punto de vista práctico.

Un plateamiento inicial se basa en que dos partículas se acercan, se produce una interación y se alejan con energías y momentos distintos.

Nuestra aproximación va a ser algo distinta:

Consideraremos una única partícula que se acerca a un potencial estático (colisiona contra el potencial) y sale con energía y momento diferentes.

Este caso se da cuando la partícula es muy pesada o si consideramos el centro de masas.

${\vec {x}}={\vec {x}}_{2}-{\vec {x}}_{1}$

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}$

Usaremos indistintamente los términos de colisión, choque o difusión (también la palabra inglesa, scattering).

Existen dos formalismos: el dependiente del tiempo (descrito en [Taylor]) y el independiente del tiempo (descrito en [Sakurai]). Ambos son equivalentes. A partir de ahora seguiremos el [Taylor].

Clásicamente una colisión con un blanco fijo puede dividirse en 3 partes. La parte inicial es muy parecida a la de una partícula libre a la cuál se le llama "asíntota in" ya que efectivamente es una asíntota para $t\to -\infty$. La segunda parte es la región de interacción que suele durar muy poco tiempo (típicamente $t\approx 10^{-10}s$. La salida es similar a la entrada.

${\vec {x}}(t)$ viene determinado por las ecuaciones de Newton.

$m{\ddot {\vec {x}}}=-\nabla V$

Si la interacción tiene lugar en $t\approx 0$ la trayectoria asintóticamente es una línea recta (partícula libre). Se denominan trayectorias asintóticas in (${\vec {x}}_{in}(t)$) y out (${\vec {x}}_{out}(t)$).

No todas las trayectorias son de este tipo, pueden existir "estados ligados". Por ejemplo, planetas girando alrededor del Sol. La teoría de colisiones NO se ajusta a este tipo de trayectorias.

Cuánticamente la trayectoria de scattering vendrá descrita por un estado que evoluciona según la ecuación de Schrödinguer.

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =H|\Psi (t)\rangle$

Si evoluciona desde $t=0$, el estado $|\Psi (t=0)\rangle =|\Psi \rangle$ se puede escribir en términos del operador temporal $U(t)$

$|\Psi (t)\rangle =U(t)|\Psi \rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}Ht}|\Psi \rangle$

donde

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {x}})=H^{0}+V({\vec {x}}).$

Supongamos que la interacción tiene lugar "cerca" de $t=0$. Lo que implica que cuando $t\approx \pm \infty$, $|\Psi (t)\rangle$ debe ser parecido al estado de la partícula libre.

$|\Psi (t)\rangle =U(t)|\Psi \rangle {\stackrel {t\to +\infty }{\rightarrow }}|\Psi _{out}\rangle =U^{0}(t)|\Psi _{out}\rangle$

donde

$U^{0}(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}H^{0}t}.$

En general

$|\Psi (t)\rangle {\stackrel {t\to \mp \infty }{\rightarrow }}|\Psi _{in/out}(t)\rangle .$

Por analogía con la colisión clásica, llamamos a $|\Psi _{in/out}\rangle$ estados asintóticos in/out.

El estado $|\Psi _{in/out}\rangle$ no se parece nada a $|\Psi \rangle$ en $t\approx 0$. Solo asintóticamente en $\mp \infty$.

Para tener una teoría de scattering bien definida el potencial debe satisfacer algunos requerimientos.

Cuando $r$ es grande $V(r)$ tiende a cero más deprisa que ${\frac {1}{r^{3}}}$

${\frac {V(r)}{\frac {1}{r^{3}}}}{\stackrel {r\to \infty }{\rightarrow }}0$

Cuando $r\to 0$, $V(r)$ debe ser menor que ${\frac {1}{r^{3/2}}}$ (para que no se produzca captura (la partícula quede atrapada por el potencial).

${\frac {V(r)}{\frac {1}{r^{3/2}}}}{\stackrel {r\to 0}{\rightarrow }}0$

$V(r)$ es continuo en todo $r$ excepto posiblmente en un número finito de discontinuidades.

Es algo muy renstringido pero no significa que uno después no pueda hacer apaños.

$\Longrightarrow$ Con estas características habrá una correspondecia 1 a 1 entre estados asintóticos in y out.