Simetrías en Mecánica Clásica

En Mecánica Clásica toda la información del sistema está en la Lagrangiana o en la Hamiltoniana

$L(x_{i},\cdot x_{i})$

$H(x_{i},p_{i})$

${\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}$

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

Si $H$ no depende de $x_{i}$ : ${\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}=0$ tenemos simetría bajo traslaciones $x_{i}\rightarrow x_{i}+\Delta x_{i}\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{i}}{dt}}=0\Rightarrow p_{i}=cte.$

Si $H$ no depende del tiempo: ${\frac {\partial H}{\partial t}}=0$ tenemos simetría bajo traslación temporal

$t\rightarrow t+\Delta t\quad \Rightarrow \quad E=cte.$

Ambas cosas hacen que las leyes de la física sean las mismas hoy y mañana y en cualquier parte.

Si $H$ es invariante bajo rotaciones ${\frac {dL_{i}}{dt}}=0$

${\vec {x}}\rightarrow R{\vec {x}}\quad \Rightarrow \quad L_{i}=cte$

Existe una relación entre simetrías y leyes de conservación. Hacer física es ver esas relaciones. Por ejemplo, puede haber un proceso muy complicado pero donde el momento angular se conserva, entonces podremos decir mucho sobre el comportamiento de ese sistema.

Simetrías en Mecánica Cuántica

En Mecánica Cuántica las simetrías se asociarán a transformaciones untarias de kets:

${\begin{cases}{\text{translación espacial: }}&|\alpha \rangle \rightarrow |{\tilde {\alpha }}\rangle =T({\vec {x}})|\alpha \rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}|\alpha \rangle \\{\text{translación temporal: }}&|\alpha \rangle \rightarrow |\alpha (t)\rangle =U(t,t_{0})|\alpha \rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}H(t-t_{0})}|\alpha \rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}|\alpha \rangle \\{\text{rotación: }}&|\alpha \rangle \rightarrow |{\tilde {\alpha }}\rangle =R_{\vec {n}}(\phi )|\alpha \rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\phi {\vec {n}}\cdot {\vec {J}}}|\alpha \rangle \end{cases}}$

Donde $T$ , $U$ y $R_{\vec {n}}$ son operadores unitarios, ${\vec {p}}$ es el operador momento y ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}$ es el parámetro de la translación. Al ser las transformaciones unitarias conservan el producto interno

$\langle \alpha |\beta \rangle \rightarrow \langle {\tilde {\alpha }}|{\tilde {\beta }}\rangle =\langle \alpha |\underbrace {U^{\dagger }U} _{\mathcal {I}}|\beta \rangle .$

Son transformaciones continuas ( $t,x,\phi$ son variables continuas) por lo que podemos definir las transformaciones infinitesimales

$T(dx_{i})={\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}p_{i}dx_{i}$

$U(t_{0}+dt,t_{0})={\mathcal {I}}-{\frac {i}{\hbar }}Hdt$

En el primer caso $p_{i}$ es el generador de la traslación en la dirección $x_{i}$ y en el segundo $H$ lo es de la translación temporal.

Si $S$ es una simetría $\Rightarrow$ geometría $G$ es hermítica.

$S^{\dagger }S={\mathcal {I}}\Rightarrow G^{\dagger }=G$

$S={\mathcal {I}}-i{d\phi }G$

Las simetrías son operadores sobre el espacio de Hilbert.

$|\alpha \rangle {\stackrel {S}{\rightarrow }}|{\tilde {\alpha }}\rangle =S|\alpha \rangle$

Son continuas (parámetro contínuo): Dada S(x),

$S(dx){\mathcal {I}}-idxG$

$S^{\dagger }S={\mathcal {I}},\qquad \left(S(x)=e^{-ixG}\right)$

Simetría: $|\alpha \rangle$ y $|{\tilde {\alpha }}\rangle$ tienen la misma energía $H$

$\langle H\rangle _{\alpha }=\langle \alpha |H|\alpha \rangle {\stackrel {S}{\rightarrow }}\langle H\rangle _{\tilde {\alpha }}=\langle \alpha |S^{\dagger }HS|\alpha \rangle =\langle \alpha |H|\alpha \rangle$

$S(S^{\dagger }HS)=H$

$HS=SH$

$[H,S]=0$

$\Rightarrow S={\mathcal {I}}-idxG$

$\Rightarrow [G,H]=0$

${\begin{cases}T({\vec {x}})&\rightarrow {\vec {P}}\\R&\rightarrow {\vec {J}}\\U(t,t_{0})&\rightarrow {\vec {H}}\end{cases}}$

Si el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones entonces J va a ser una constante del movimiento. Las otras dos igual. Es el análogo cuántico a las leyes de conservación.

${\frac {d\langle G\rangle _{\alpha }}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\langle [G,H]\rangle _{\alpha }=0$

El generador de una simetría es una constante del movimiento.
En general, se dice que cualquier operador unitario es una transformación de simetría $S$ , aunque no conmute con el hamiltoniano (y su generador no sea una constante del movimiento).
Las transformaciones unitarias hacen:

$\langle \alpha |\beta \rangle =\langle {\tilde {\alpha }}|{\tilde {\beta }}\rangle =\langle \alpha |\underbrace {U^{\dagger }U} _{\mathcal {I}}|\beta \rangle .$

Esta condición puede relajarse a

$\langle {\tilde {\alpha }}|{\tilde {\beta }}\rangle =\left|\langle \alpha |\beta \rangle \right|$

El teorema de Wigner afirma que los operadores que satisfacen esta última condición son los unitarios

$U^{\dagger }U={\mathcal {I}}$ ,

$\langle \alpha |\beta \rangle =\langle {\tilde {\alpha }}|{\tilde {\beta }}\rangle$

y los antiunitarios $\theta$ ,

$|\alpha \rangle {\stackrel {\theta }{\rightarrow }}|{\tilde {\alpha }}\rangle =\theta |\alpha \rangle$

$\langle \alpha |\beta \rangle =\langle {\tilde {\alpha }}|{\tilde {\beta }}\rangle ^{*}$

Y son antilineales

$\theta (c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle )=c_{\alpha }^{*}\theta |\alpha \rangle +c_{\beta }^{*}\theta |\beta \rangle$

$\theta =\underbrace {U} _{\text{operador unitario}}\underbrace {K} _{\text{complejo-conjugado}}$

Supongamos un $H$ invariante bajo rotaciones

$[R,H]=0$

$[J_{i},H]=0=[J_{\pm },H].$

Podemos encontrar una base de estados propios de $H$ y de $J^{2}$ y $J_{z}$

$H|n\ j\ m\rangle =E_{n}|n\ j\ m\rangle$

y tengo un estado propio de $J^{2}(j),J_{z}(m+1)$ . El estado

${\frac {J_{+}|n\ j\ m\rangle }{N}}\equiv |n\ j\ m+1\rangle$

donde N es la norma del numerador, es un estado físico que tiene la misma energía que el estado

$|n\ j\ m\rangle .$

Es muy fácil de demostrar ya que $[J_{+},H]=0$

$H{\frac {J_{+}|njm\rangle }{N}}=J_{+}H{\frac {|njm\rangle }{N}}=J_{+}{\frac {E_{n}|njm\rangle }{N}}=E_{n}{\frac {J_{+}|njm\rangle }{N}}$ ${\frac {J_{+}|n\ j\ m\rangle }{N}}$

Dicha energía da para muchos estados distintos (nivel de energía degenerado).

$|n\ j\ m\rangle \quad m=-j,\ldots ,j$

Hay una correspondencia entre simetría y degeneración de niveles de energía.