Mecánica cuántica/Funciones de onda

De Wikilibros, la colección de libros de texto de contenido libre.
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

Hasta ahora hemos estudiado observables con espectro discreto (por ejemplo, de )

Ahora estudiaremos espectos discretos, por lo que vamos a necesitar espacios de Hilbert de dimensión infinita.

Los resultados obtenidos para de dimensión finita son fácilmente generalizables a este otro caso.

toma valores de un conjunto discreto.

Frente a espectro continuo

donde toma un conjunto continuo de valores.

Ahora usamos la delta de Dirac en lugar de la delta de Kronecker.

no es una función, es una distribución (asigna un número complejo a cada función)

Puede obtenerse como el límite de una función.

La ortonormalidad en el espacio de Hilbert de dimensión infinita se expresa en términos de esta distribución.

En un espacio de dimensión finita, si es una base, obtenemos la relación de clausura

Y se tiene que

Usando el resultado anterior tenemos que

En contraste, cuando el espacio de Hilbert tiene dimensión infinta,

A es mejor llamarlo función de onda porque no es un vector, pues se define mediante un producto escalar: Es una función de la variable continua x. Es por ello que puede pasar a la izquierda o a la derecha de un vector sin problemas, como ocurre también con los escalares.

  • Probabilidad de medir y obtener un valor entre y (no tiene sentido establecer la posibilidad de que esté en un punto)

(Es como un proyector)

Demostrad vosotros que

"braket"

Solapamiento de las dos funciones de onda

y son ortogonales si sus funciones de onda no se solapan.

Aún nos queda por generalizar el bocadillo (la matriz o braket). En el caso discreto:

En el caso continuo:

Con el mismo procedimiento se puede obtener el resultado para un operador , definido a través del operador , si se tiene en cuenta que .