Mecánica cuántica/Densidad y corriente de probabilidad

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Se define la densidad de probabilidad asociada a como

es la densidad de amplitud de probabilidad

¿Cómo cambia con el tiempo?

Ecuación de Schrödinguer:

Ecuación de Schrödinguer

Si V no depende de t (sistema estacionario), los autovalores del Hamiltoniano son las energías accesibles al sistema

Si integramos la ecuación de en esta representación

La densidad de probabilidad es independiente del tiempo.

Estacionario no significa que esté parado, pero sí que su probabilidad de encontrarlo en cualquier posición es fija.

Densidad de corriente de probabilidad.

Notemos:

Integrando esto (para entender más cosas)

Esto dice: "Lo que varía la probabilidad en V es la cantidad de probabilidad que se ha escapado"

En el infinito

"Las desintegraciones o colisiones inelásticas no las resuelve bien la MC; es necesario Teoría Cuántica de Campos o potenciales complejos."

¿Cuánto valdrá

Si el estado es propio de : \\

Estados estacionarios

Conocidas las funciones de onda puede obtenerse la evolución de una función de onda arbitraria .

A partir de los autoestados podemos conocer la evolución temporal.

Teorema de Ehrenfest[editar]

Vamos a tratar de demostrarlo razonando.

Límite de la mecánica clásica:

Diferencia fundamental entre la Mecánica Cuántica y la Mecánica clásica:

y tienen incertidumbre en una partícula simultáneamente.

Supongamos:

Y la segunda ecuación:

Teorema de Ehrenfest

El dentro del paquete de ondas se mueve como una partícula clásica sometida a la fuerza promedio (esto se parece a las leyes de Newton).

El propagador[editar]

La evolución temporal de la función de onda puede describirse usando el propagador

El propagador es el kernel del operador.

¿Cuál es su significado físico?

Supongamos una partícula localizada en a las

Nos da la densidad de amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula que originalmente estaba en en en a las .

Diagonalizo el Hamiltoniano y en esa base escribo el operador de clausura. y lo introducimos arriba.

Conocidos los autoestados del hamiltoniano (lo cual solo es posible en determinados casos muy concretos) puede deducirse el propagador.

Estaremos interesados en el caso . Se define el propagador retardado

donde la función es

Poner un dibujo que se vea que es como una función escalón.

El factor hace que el propagador rectificado satisfaga la si\-guien\-te ecuación diferencial

El resultado final es la ecuación diferencial

Nota matemática:

es una "función de Green" de

Resolver esta ecuación diferencial es complicado (imposible). El caso más fácil es , particula libre.

Esto son las ondas planas (tienen la E bien definida)

Y tras operaciones se llega a

por métodos perturbativos para ir aproximándose a la solución a partir del propagador libre (consiste en poner el propagador igual a 0).