Mecánica clásica/Mecánica analítica/El principio de D'Alembert

Desplazamientos virtuales

Un desplazamiento virtual $\delta \mathbf {r} _{i}\!$ de una partícula en un instante t es el desplazamiento del vector posición desde un estado del sistema a otro de forma que dicho desplazamiento sea compatible con las fuerzas y ligaduras que afectan a la partícula en dicho instante de tiempo. Al desplazamiento se le llama virtual porque no se trata de desplazamiento real, ya que la partícula no tiene necesariamente que describir una trayectoria compatible con dicho desplazamiento y, además, este desplazamiento es considerado a tiempo fijado, mientras que la partícula necesitará que avance la variable tiempo para poder cambiar su vector de posición.

El principio de los trabajos virtuales

Supongamos que el sistema se encuentra en equilibrio de fuerzas, entonces la fuerza total $\mathbf {F} _{i}\!$ que actúa sobre cada partícula $i\!$ será

$\mathbf {F} _{i}=0.\!$

Si dicha fuerza es cero, también lo será el trabajo virtual $\delta W\!$ asociado a un desplazamiento virtual $\delta \mathbf {r} _{i}\!$, que se define como el producto escalar de la fuerza total que actúa sobre la partícula por el desplazamiento virtual, también será cero

$\delta W_{i}:=\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.\!$

Si descomponemos la fuerza total en fuerzas externas $\mathbf {F} _{i}^{\mbox{ext}}\!$ y fuerzas de ligadura $\mathbf {f} _{i}\!$, la ecuación se queda como

$\mathbf {F} _{i}^{\mbox{ext}}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {f} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.\!$

Como esto es cierto para todas las partículas, que deben encontrarse en equilibrio de fuerzas para que el sistema total también lo esté, podemos sumar sobre todas las partículas

$\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{\mbox{ext}}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {f} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.\!$

El principio de los trabajos virtuales supone que

$\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{\mbox{ext}}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$

Esto en general no es demostrable siempre, aunque sí lo será en los casos en los que la otra sumatoria también sea igual a cero, es decir, cuando el trabajo total que las fuerzas de ligadura realizan sobre el conjunto de todas las partículas sea igual a cero. Esto se cumple, por ejemplo (no todos son ejemplos de sistemas en equilibrio de fuerzas), para cuerpos rígidos, fuerzas de ligadura exclusivamente perpendiculares a las superficies en las que pueden moverse las partículas (determinadas por las ecuaciones de ligadura) o movimientos de rotación sin deslizamiento; pero no se cumple para desplazamientos con rozamiento dinámico . También se cumple si la superficie en la que está obligada a moverse una partícula se mueve con el tiempo, ya que aunque la fuerza realizada por la superficie sobre la partícula en un tiempo finito realice un trabajo sobre ella, el desplazamiento virtual será siempre perpendicular a la fuerza de ligadura, por lo que el trabajo virtual será cero . Para otros casos en los que no se pueda demostrar habrá que considerar como ley física el principio de los trabajos virtuales.

El principio de D'Alembert

Aunque en principio lo dicho hasta ahora solo es aplicable a los problemas de estática, gracias a la idea original de James Bernoulli, que posteriormente fue desarrollada por D'Alembert , es posible analizar los problemas de dinámica simplemente usando que, si la ecuación del movimento para una partícula sometida a una fuerza total $\mathbf {F} _{i}\!$ es

$\mathbf {F} _{i}(t)={\dot {\mathbf {p} }}_{i}(t),$

dicha partícula se encontrará en equilibrio de fuerzas en todo tiempo si en cada instante de tiempo t le aplicamos una fuerza $-{\dot {\mathbf {p} }}_{i}(t).$ Téngase en cuenta que para poder aplicar dicha fuerza realmente sería necesario conocer explícitamente ${\dot {\mathbf {p} }}_{i}(t)$, lo cual significaría que ya resolvimos nuestro problema el pasado. Sin embargo, aunque no la conozcamos, la mecánica clásica nos garantiza que dicha ecuación del movimiento va a existir independientemente del observador, y teóricamente sería posible aplicar esta "premonitoria" fuerza a la partícula. Para remarcar este hecho hemos recordado la dependencia temporal de $\mathbf {F} _{i}\!$ y $\mathbf {\dot {p}} _{i}\!$, pero no tiene mayor importancia.

Así, podemos reescribir el principio de los trabajos virtuales como

$\sum _{i}\left(\mathbf {F} _{i}-\mathbf {\dot {p}} _{i}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$

Si ahora descomponemos las fuerzas en externas y de ligadura obtendríamos

$\sum _{i}\left(\mathbf {F} _{i}^{\mbox{ext}}-\mathbf {\dot {p}} _{i}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {f} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$

El principio de D'Alembert afirma que (de nuevo debe ser consierado como un axioma cuando el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura no es nulo)

$\sum _{i}\left(\mathbf {F} _{i}^{\mbox{ext}}-\mathbf {\dot {p}} _{i}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$