Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Topología de Matrices

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Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos


Introducción[editar]

En este capítulo, y en los dos siguientes, presentaremos aplicaciones de lo visto anteriormente a ciertos grupos geométricos. Los grupos geométricos son objetos algebraicos asociados a nociones geométricas. En nuestro caso, se tratará de la geometría de los espacios Euclídeos Rn.

Los grupos (abstractos o generales) se estudian en los cursos de Álgebra Abstracta, lo necesario para este capítulo está resumido en el apéndice C. Los principales grupos geométricos aparecerán como conjuntos de matrices, por lo que iniciaremos el capítulo estudiando la topología de las matrices n × n. En la tercera sección, generalizaremos lo visto en grupos de matrices a grupos topológicos cualesquiera. Finalmente, aplicaremos lo anterior a la topología de los grupos geométricos. Para concretar lo anterior consideremos a GL(n). (grupo lineal) que será el conjunto de todas las matrices n×n cuyo determinante no es nulo. Este conjunto como veremos, puede considerarse un subconjunto de Rn2, por lo que resulta natural preguntarse por la topología del mismo: ¿es abierto o cerrado? ¿es conexo? ¿es compacto? Además de presentar alguna matemática interesante por sí mismo, queremos, como dijimos arriba, mostrar como se aplican los conceptos vistos a esos conjuntos de matrices.

Este capítulo requiere un conocimiento básico de Álgebra Lineal. Cuando una lectora o lector no posea dicho conocimiento, puede hallar algunas dificultades en la lectura del mismo. Sin embargo, en cualquier caso, creemos que la lectura de estos capítulos puede ser provechoso, usando algo de fe para los resultados de Álgebra Lineal.

El Espacio Métrico de las Matrices[editar]

Simbolizaremos por Mn(R) al conjunto formado por todas las matrices n × n con entradas en los Reales. Cada matriz A = [aij ] puede identificarse con un punto de Rn2 , colocado las filas, ordenadamente, una tras otra. Es decir que aij ⇆ b(i−1)n+j .

Ejemplo 13.2.1. En M2(R),

La identificación de Mn(R) con Rn2 provee, por lo tanto, a Mn(R) con la estructura de espacio normado y, en consecuencia, con la métrica deducida de tal norma. Luego, podremos aplicar a Mn(R) las nociones métricas y topológicas vistas anteriormente.

Cada subconjunto de Mn(R) será un subespacio con la topología relativa. Cualquier métrica de Rn2 define la misma topología en Mn(R), pero como estamos interesados en los grupos geométricos usaremos la norma euclídea, a menos que se indique lo contrario.

Recordemos que las proyecciones (o coordenadas) pi : (x1, ... , xm) ↦ xi, 1 ≤ i ≤ m de Rm en R son funciones continuas. Recordemos, también, que una función f : E → Rm, en particular m = n2, es continua, ssi, la composición con cada una de las proyecciones es continua, o como diremos si es continua por coordenadas.

Cuando A = [aij}] sea una matriz , denotaremos las coordenadas como pares i,j o ij con . Así la coordenada ij de la matriz A es .

Las Operaciones Matriciales son Funciones Continuas[editar]

La suma, resta, y producto de matrices n × n, son funciones continuas

Rn2 × Rn2Rn2 .

También es continua la multiplicación por escalar. Para probar lo anterior, basta con ver la continuidad por coordenadas. En efecto, sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices en Mn(R) = Rn2. Las coordenadas ij de la suma, resta y multiplicación son, respectivamente,

aij + bij,    aij − bij  y  ∑k aik bkj.

Como dichos valores son polinomios en las coordenadas de los operandos, vemos que son funciones continuas. (Ver la sección 6.5.3). Resumimos la discusión anterior en la siguiente proposición.

Proposición 13.2.1. La suma, resta y multiplicación son operaciones continuas en Mn(R).


Se verifica que la suma y la multiplicación son asociativas, que la multiplicación es distributiva respecto a la suma. La suma es conmutativa, pero la multiplicación no lo es. La matriz identidad I es una matriz cuyas entradass en la diagonal principal son todas iguales a 1 y las demas entradas son nulas. Se verifica que para toda matriz A se cumple que AI = IA = A.


Ejemplo. La matriz identidad de es .

La Función Determinante y el Grupo Lineal[editar]

El determinante es una función de Mn(R) en R definida como

donde la suma corre sobre todas las permutaciones de los elemento del conjunto {1, 2, ... , n} y es el signo de la permutación. Se verifica la siguiente importante relación (a la que nos referiremos como la identidad básica del determinante).

Sigue de la definición que el determinante de la matriz identidad es igual a 1.

Decimos que una matriz A es invertible cuando hay una matriz tal que . Dicha matriz es única y se denota .

Sigue de la identidad~{IBD} que cuando una matriz es invertible se cumple que

Por lo que el determinate de una matriz invertible no es cero. Se verifica que el converso es válido, por lo que una matriz es invertible, ssi, su determinante no es nulo. En particular la matriz identidad es invertible.

Notemos que cuando es invertible, . Simbolizaremos por GL(n) al conjunto formado por todas las matrices n × n

invertibles. Cuando A y B son matrices invertibles, se cumple que

(i) El producto AB es invertible, con (AB)−1 = B−1A−1, y
(ii) La inversa de A es invertible con (A−1)−1 = A.

En la terminología de Álgebra Abstracta, las propiedades anteriores, conjuntamente con la asociatividad del producto, hacen que GL(n) tenga una estructura de grupo (ver definición C.1), al que llamamos el grupo lineal (real de dimensión n). Con esa terminología, la relación básica establece que el determinante es un homomorfismo (ver definición C.4) de grupos entre los grupos GL(n) y R* (los Reales no nulos) que se verifica, además, que es suprayectivo. Sigue de la teoría de grupos, que la preimagen de cualquier subgrupo de R* será un subgrupo de GL(n) (ver D.4.2). En particular, la preimagen del subgrupo {1} de R* es un subgrupo de GL(n), al que llamamos el (sub)grupo lineal especial y que denotamos por SL(n).

Proposición 13.2.2. La función determinante es continua.

    Demostración. Sigue de la definición que se trata de un polinomio en las coordenadas, por lo que es continua.


Corolario 13.2.3. El grupo lineal GL(n) es un subconjunto abierto de Mn(R).

El grupo lineal especial SL(n) es un subconjunto cerrado (topológicamente) de GL(n).

    Demostración. Como det : Mn(R)R es continua y GLn(R) es la preimagen por determinante de R* (reales no nulos), que es un subconjunto abierto de R, se tiene que GL(n) es abierto. Por su parte, SL(n) es la preimagen por el determinante del subconjunto cerrado {1} en R*.


Proposición 13.2.4. La asociación a cada matriz invertible A = [aij ] de su inversa es una función continua.

    Demostración. Tenemos, por la Regla de Cramer, que

    donde Cij es el ij–cofactor (el determinante de la matriz (n − 1) × (n − 1) que se obtiene a partir de A por eliminación de la i–ésima fila y la j–ésima columna). Sigue de la regla de Cramer que cada coordenada de la inversa es igual a un cociente de dos funciones continuas, el numerador siendo una suma de funciones continuas (determinantes), el denominador otra fución continua (también un determinante). Luego, es continua.


Corolario 13.2.5. La función es un homemorfsimo de GL(n) en si mismo.

    Demostración. La función es su propia inversa (c0mo función) ya que



La Conjugación[editar]

Sea G un grupo. Se llama conjugación por (un elemento) g de G, a la función del grupo en sí mismo tal que x ↦ gxg−1 (el conjugado por g de x).

Proposición 13.2.5. La conjugación es un homeomorfismo para todo g.

    Demostración. La conjugación cg es la composición de la multiplicación por la izquierda por g, con la multiplicación por la derecha por g−1

    Lo que prueba que es continua. Notemos que . Es decir que . Si , se tiene que . Es decir que es invertible como función, y la función inversa es continua, ya que también es una conjugación. Recordemos que decimos que un subgrupo es normal en G cuando los conjugados de cada uno desus elementos es un elemento del subgrupo. Por ejemplo, SL(n) es normal en GL(n),

    ya que para toda A en SL(n) y B en GL(n) se cumple que

    det(BAB−1) = det(B) det(A) det(B−1) = det(A) = 1.


    Las Matrices y las Transformaciones Lineales[editar]

    Cualquier matriz , , define una función de en si mismo, asignando a cada de el vector . Identificamos vectores con vectores columna (matrices ) y usamos la multi0plicación general de matrices (filas por columnas).

    Simbolizaremos por o simplemente por dicha función. Se cumple que

    (i) LA(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = LA(x) + LA, y
    (ii) LA(αx) = A(αx) = αAx = αLA(x).

    Tales propiedades establecen que la función LA es una transformación ineal (en la terminología del Álgebra Lineal). En los cursos de Álgebra Lineal, se prueba que Una vez seleccionada una base B de un espacio vectorial, podemos rfepresentar cada transformación lineal T una matriz TB (matriz de coordenadas de T) tal que las funciones A ↦ LA y T ↦ TB son inversas una de la otra. Las columnas de la matriz de coordenadas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base.

    Las Matrices Ortogonales[editar]

    Definición. (Transformación Ortogonal) Sea E = Rn el espacio Euclídeo de dimensión n. Una transformación lineal T es ortogonal, ssi, preserva el producto interior, es decir, ssi, para todo x, y en E se cumple que

    (TO)


    Proposición 13.2.4. Cuando T es transformación lineal ortogonal se cumple lo siguiente:

    (a) T preserva la norma (o largo de los vectores), ||T(x)|| = ||x||.
    (b) T preserva el origen, T(0) = 0.
    (c) T preserva la ortogonalidad (perpendicularidad) entre vectores.
    (d) La composición de transformaciones ortogonales es ortogonal.
    (e) Cuando T es biyectiva, su inversa es ortogonal.

      Demostración. Ejercicio


    Sea B = {v1, ... , vn} un base ortonormal de E, o sea que los vectores vi tienen largo 1 y son mutuamente ortogonales. Lo que podemos simbolizar como que vi · vj = δij , donde δij es el delta de Kronecker, definido como δij = 1, cuando i = j, y 0 en caso contrario.

    Cuando T es ortogonal, sigue de la proposición anterior, que las imágenes de los vectores de una base ortonormal forman un conjunto ortonormal de vectores, que se verifica que también es una base ortonormal del espacio.

    Supongamos que A = [aij ] es la matriz de una transformación lineal ortogonal respecto a una base ortonormal. Llamando w1, ... ,wn a las columnas de la matriz A, tenemos que dicho conjunto de vectores es ortonormal. Esto implica que para todo 1 ≤ i, j ≤ n se cumple que wi · wj = δij (o sea igual a 1 cuando i = j y 0 en caso contrario). Con la notación introducida arriba, tenemos que


    Luego,

    (*


    Sea B = [bη,μ] = At la transpuesta de A [1]. Entonces, bη,μ = aμ,η . Escribiendo (*) usando los bη,μ, tenemos que

    (**


    Podemos interpretar el número de la derecha como el elemento en la posición (i, j) del producto BA, es decir de At A. Por las relaciones obtenidas, esos elementos son nulos si i ≠ j y son 1 si i = j. Es decir que hemos probado que

    (MO


    Notemos que la relación implica que A es invertible y que su inversa es At.

    Simbolizaremos por O(n) al conjunto formado por todas las matrices que satisfacen la relación (MO). Claramente, ese conjunto no es vacío porque la (matriz) identidad I tiene esa propiedad. Recordando que el determinante de una transpuesta es igual al determinante de la matriz original, usando la relación (MO) tenemos que

    1 = det(I) = det(AtA) = det(At) det(A) = det(A)2.

    Luego, el determinante de una matriz ortogonal puede ser 1 o −1. La matriz identidad es una transformación ortogonal con determinante igual a 1. Sea A una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos, y todos los elementos de su diagonal son 1, excepto el último que es -1.

    Claramente, AAt=I, por lo que A es ortogonal y su determinante es igual a −1. Sigue de esa discusión, que la restricción de la función determinante a O(n) tiene como imagen al espacio discreto {1,−1}, concluimos que O(n) es disconexo como espacio topológico.Denotaremos por O+(n) (resp. O-(n)(n) al subconjunto de O(n) formado por todas las matrices ortogonales con determinante igual a 1 (resp. −1). Notemos que la matriz identidad es un elemento de O+(n).

    Proposición 13.2.5. O(n) es un subgrupo de GL(n), al que llamaremos grupo ortogonal (de dimensión n).

      Demostración. Sean A, B matrices ortogonales. Entonces,
      (i) (AB)t AB = BtAtAB = Bt(AtA)B = BtB = I, o sea que el producto
      de ortogonales es ortogonal.
      (ii) Recordemos que cuando A es ortogonal, su inversa es At. Entonces, la relación
      AA−1 = I implica que (A−1)−1A−1 = I, es decir que (A−1)t A−1 = I,
      o sea que A−1 es ortogonal. Esto concluye la prueba.


    Sea A = [Aij ] una matriz ortogonal. Entonces, usando la norma euclídea, tenemos que:


    Como las columnas de la matriz A forman un conjunto ortonormal, tenemos que la norma de cada columna es igual a 1. Por lo que reagrupando la suma anterior por columnas, tendremos que


    Por lo que ||A|| = √n. Lo que implica que O(n) es un conjunto acotado.

    Consideremos ahora, la función A ↦ At A de Mn(R) en sí mismo. Es fácil ver que esa función es continua, A ↦ (At ,A) *→ AtA. Como O(n) es la preimagen por esa función de {I}, vemos que O(n) es cerrado. Como es cerrado y acotado en Rn2, por el teorema de Heine–Borel (11.5.5), O(n) es un conjunto compacto. Tenemos así la siguiente proposición.

    Proposición 13.2.6. El grupo O(n) es un subgrupo compacto de GL(n).


    Ejemplo 13.3.1 (Grupo no Acotado). El grupo SL(2) no es acotado en M2(R).

    En efecto, sea Entonces, det(A) = 1 y ||A|| = √(n2 + 2). Lo que muestra que el grupo lineal especial no puede ser acotado.


    Ejercicios 13.2[editar]

    1. En el texto, se dice que la función determinante es suprayectiva, explicar porque eso es cierto.
    2. La función A ↦ At de Mn(R) en sí mismo es continua.
    3. Hallar la norma euclídea de cada una de las siguientes matrices.
    4. Sea G el conjunto de todas las matrices 2 × 2 cuyas entradas son todas números racionales. Probar que G es un subgrupo de GL(2) que no es cerrado en GL(2). ¿Cuál es la clausura de G en GL(2)?
    5. Los grupos GL(n) y SL(n) no son acotados como subconjuntos de Mn(R).
    6. GL(n) es por restricción de la distancia euclídea un espacio métrico. Luego, es un espacio completamente normal—ver teorema 12.3.5. ¿Qué se puede decir de SL(n) y de O(n)?
    7. Sean H un subgrupo cerrado de GL(n) y K un subgrupo cerrado de H. Probar que K es cerrado en GL(n).
    8. Probar que O+(n) es un subgrupo cerrado de O(n) y, por lo tanto, de GL(n). ¿Por qué O-(n)(n) no puede ser un grupo? ¿Es O+(n) compacto, acotado?
    9. Sea UT(2) el conjunto de matrices 2×2 tal que el elemento bajo la diagonal es 0. Probar que UT(2) es un subgrupo cerrado de GL(2) .
    10. (Ortogonales de dimensión 1) (Matrices 1 × 1 se identifican con números reales) Probar que O(1) = {1,−1}. Identificar a O+(1).
    11. (Ortogonales de dimensión 2.)
      1. Probar que las matrices de la forma , θ real, son ortogonales con determinante 1.
      2. Probar que toda matriz ortogonal con determinante 1 tiene una matriz de la forma anterior. (Sug. Verificar que cualquier vector de largo 1 tiene la forma necesaria para aparecer como columna de la matriz. Usar que cuando (a, b) es un vector cualquiera, los únicos vectores de igual largo y ortogonales a él, son (−b, a) y (b,−a).)
      3. Sea J = Probar que J es ortogonal con determinante igual a −1.
      4. Sea ϕ : O-(2) → O+(2) la función que asocia a cada B en O-(2) con el producto JB. Probar que ϕ es un homeomorfismo.
      5. ¿Es O(2) conexo?
    12. Sea A una matriz n × n y sea B la matrix (n + 1) × (n + 1) tal que

      Probar que A es ortogonal, ssi, B lo es. Usar el resultado para probar que podemos considerar a O(n) como un subgrupo cerrado de O(n + 1).

    13. Sea A una matriz n × n con determinante nulo. Para todo ǫ > 0 hay una matriz B tal que ||B − A|| < ε y el determinante de B no es nulo.
    14. Sea A una matriz n×n con determinante no nulo. Probar que hay un ε > 0 tal que para toda matriz B tal que m´ax{|bij − aij |1 ≤ i, j ≤ n} < ε, se cumple que det(B) ≠ 0.
    15. Sea una base ortonormal de . Sean y vectores de , cuyas matrices de coordenadas respecto a la base son las matrices y respectivamente. Entonces, se cumple que
      Usar esa relación para probar la proposición 13.3.2.
    16. Sea una matriz con determinante nulo. Para todo hay una matriz tal que y el determinante de no es nulo.
    17. Considerar el espacio normado y sea la serie de potencias definida en el ejercicio 4 del final del capítulo~\ref{chSucesiones}. Para cada matrix , es otra matriz, la {matriz exponencial de . Para toda matriz se cumple que
      1. .
      2. , y en .
      3. es invertible y .
      4. .

      (Luego, define una función de en GL(n) que es central en la teoría de grupos de Lie, grupos donde las operaciones son derivables y, por lo tanto, continuos.)

    Referencias[editar]


    1. La transpuesta At de una matriz A, es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas de A.