Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Introducción

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Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos


El objetivo de este capítulo es presentar algunos resultados “intuitivos”, cuya formalización condujo al desarrollo de los Espacios Métricos Y la Topología.

Generalidades[editar]

Recordemos que, en los cursos de Cálculo, se define la noción de derivada de una función como un cierto límite; donde por límite de los valores de una función se entiende un cierto número al que se aproximan dichos valores cuando el argumento de la función se restringe adecuadamente.

¿Qué significa exactamente lo anterior? En la mayoría de los textos de Cálculo no se desarrolla una teoría profunda acerca de los límites, ya que el interés primario está en la manipulación de funciones derivables e integrables: cómo “calcular” una derivada o hallar una integral, así como en sus aplicaciones (máximos y mínimos, por ejemplo).

Tras bastidores, por así decirlo, están las funciones continuas, que para nosotros serán las más importantes. Generalmente, tales funciones aparecen definidas en términos de límites, diciendo que el limite de los valores de la función en un cierto número es precisamente el valor de la función en ese número. Intuitivamente, se dice que una función es continua en un punto de su dominio cuando su gráfica no tiene “saltos” en dicho punto. Si la función está definida sobre un intervalo, continuidad en el intervalo significa, intuitivamente, que podemos dibujar la gráfica de la función sin necesidad de tener que levantar el lápiz.

Cuando examinamos un texto de Cálculo, especialmente en el área de aplicaciones de las derivadas, usualmente hallamos los enunciados de algunos teoremas, con las pruebas omitidas por pertenecer a matemáticas más avanzadas. Este texto provee esas "matemáticas más avanzadas". Una notable excepción a lo anterior es el texto de Cálculo de Spivak [16].

Examinaremos, a continuación, algunos de esos teoremas.

Teorema A. (Teorema del Valor Intermedio) Sea f : [a, b] → R una función continua tal que f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Entonces, hay un c tal que a < c < b y f(c) = 0.


Teorema B.) (Acotamiento de Funciones) Sea f : [a, b] → R una función continua, entonces hay un real positivo M tal que para todo x en [a, b] se cumple que −M ≤ f(x) ≤ M. En palabras, la función f es acotada.


Teorema C. (Existencia de Máximos y Mínimos Absolutos) Sea f : [a, b] → R una función continua, entonces hay números c y d tales que a ≤ c, d ≤ b con f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), para todo x en [a, b]. En palabras, la función f alcanza máximos y mínimos absolutos.


Gráficas de Funciones
Figura 1.1: Gráficas de Funciones

Examinemos tales teoremas. Veamos primeramente su plausibilidad, o sea ¿por qué creemos que pueden ser válidos? Mirando a la parte (a) de la figura 1.1, y usando la intuición de que la gráfica no tiene saltos, vemos que yendo de (a, f(a)) (que está por debajo del eje X) a (b, f(b)) (que está por encima del eje X) tenemos que cruzar al menos una vez el eje, que es precisamente lo que dice el teorema A.

Igualmente, mirando a la parte (b) de la figura, podemos razonar que por mucho que suba o baje la gráfica, debe finalmente llegar al punto (b, f(b)), que nos dice lo que enuncia el teorema B. Dicha figura también ilustra lo indicado por el teorema C.

La discusión heurística anterior, puede conducirnos a una serie de preguntas interesantes. ¿Por qué no aparece una demostración de esos teoremas, que parecen tan obvios? Inicialmente, los matemáticos tomaron a esos resultados como “evidentes”, razonando gráficamente como arriba. Varios tropiezos posteriores con tales argumentos gráficos, llevó a los matemáticos del siglo XIX a estudiar seriamente como probar lógicamente dichos teoremas. Fue solamente en las décadas finales de ese siglo que se obtuvo una teoría que permitió tales demostraciones.

Volviendo a los teoremas, notemos que los tres tienen una hipótesis común: “sea f : [a, b] → R una función continua.” ¿Por qué el dominio de la función tiene que ser un intervalo cerrado y acotado? ¿Qué pasa si tomamos un intervalo que no sea cerrado o acotado o un dominio que no sea un intervalo?

(♠) Usaremos, en algunos de los ejemplos posteriores, el teorema que establece que cuando una función tiene derivada, la función es continua.


Ejemplo 1.1.1. Sea A =]0, 1] = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1}. Notemos que la única diferencia con el intervalo [0, 1] es que A no contiene el punto 0, o sea que es un intervalo abierto en 0.

Sea f : A → R tal que f(x) = 1/x. Esta función es continua en A (porque tiene derivada, f′(x) = −1/x2) Tal función no es acotada superiormente, ya que si x = 1/n, n entero positivo, f(x) = n, o sea que alcanza valores tan grande como queramos. Por la misma razón, no alcanza un valor máximo.


El ejemplo anterior ilustra que la ausencia de un punto del dominio hace que los teoremas B y C no sean válidos.

Moraleja: un sólo punto puede hacer una gran diferencia!!!!


Ejemplo 1.1.2. Sea B =]0, 1[= {x ∈ R : 0 < x < 1}. Sea f : B → R tal que f(x) = x. Esta función es continua en A (porque tiene derivada, f′(x) = 1). Es fácil ver que esa función es acotada, ya que para todo x en B se cumple que, digamos −2 < f(x) < 2; sin embargo, la función no alcanza valor máximo ni mínimo. (Los valores candidatos están fuera del dominio de la función.)


Ejemplo 1.1.3. En los ejemplos anteriores, hemos quitado un punto del extremo de un intervalo cerrado, ¿qué pasará si quitamos un punto dentro del intervalo?


Figura 1.2: Gráfica de una función

Sea C = {x ∈ R : −1 ≤ x < 0 o 0 < x ≤ 1, o sea el intervalo [−1, 1] menos el 0. Sea f : C → R tal que f(x) = 1 cuando x > 0 y, en caso contrario, f(x) = −1.

Mirar la gráfica en la figura 1.2. Claramente la función tiene derivada en todo su dominio, derivada que es nula. Notemos que f(−1) = −1 < 0 y f(1) = 1 > 0, pero no hay un número c entre −1 y 1 donde f(x) = 0. (Ver el teorema A).

Recordemos, también que hay un teorema de Cálculo que dice que una función con derivada nula es constante. Nuestra función tiene derivada nula en todo su dominio, pero no es constante.

¿Qué sucede?
Simplemente, que el teorema que la derivada nula implica función constante requiere en su hipótesis que el dominio sea un intervalo, o sea que no puede haber un punto faltante entre los extremos. En este caso el dominio está desconectado (consiste de dos partes que no tienen punto común) y como consecuencia, su gráfica también.

Los ejemplos anteriores muestran que la conducta de una función (es o no acotada, alcanza un cierto valor o tiene máximos o mínimos, etc.) depende no solamente de la regla o fórmula de la función, sino que también es muy importante el conjunto donde está definida la función.


Los ejemplos anteriores, y muchos otros más, condujeron a un estudio matemático formal de las situaciones envueltas. Nuevas teorías fueron creadas: Análisis para formalizar los procesos de derivación e integración, Geometría Multidimensional (geometría y Cálculo de varias variables), Espacios Métricos, la teoría de Conjuntos y finalmente la Topología.

Los Espacios Métricos y la Topología estudian la noción de proximidad, ¿qué quiere decir estar cerca de un punto o de un conjunto? ¿Cuándo un conjunto tiene partes separadas? ¿Cuál es la diferencia entre intervalos cerrados y abiertos? Los espacios métricos lo hacen usando una noción de distancia entre puntos, los espacios topológicos lo hacen sin recurrir a la noción de distancia. Hay situaciones donde no hay una métrica o distancia posible o donde la métrica no es lo más natural, por lo que se recurre a la noción de “vecindad” (espacios topológicos). Dos puntos de la misma vecindad están “cercanos”, puntos pertenecientes a diferentes vecindades estarán más separados. La habilidad de los matemáticos ha sido crear un lenguaje formal para estudiar adecuadamente dichas intuiciones. Para entender un poco los problemas que trata la teoría de los espacios métricos y la topología, veamos la siguiente situación.

Consideremos el círculo unitario del plano cartesiano, o sea al conjunto

Sea p = (a, b) un punto del plano. Tratar de responder a las siguientes preguntas sin mirar a un dibujo de la situación, o sea solamente usando la definición de C.

  1. ¿Qué condiciones deben satisfacer a y b para que p sea un punto en el interior de C? ¿en el borde de C? ¿en el exterior de C?
  2. ¿Cómo definir que p es un punto en el interior (resp. borde, exterior) de C sin usar las ecuaciones? (Sug. Mirar que pasa con los vecinos de p (los puntos suficientemente cercanos a p.)

No olvidar de leer la sección Convenios del Prefacio