Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Grupos Matriciales

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Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos


Los Grupos Matriciales[editar]

Volvemos en este capítulo a los grupos de matrices, especialmente a aquellos relacionados con aspectos geométricos. Todos esos grupos son grupos topológicos. Entre ellos, los m'as interesantes serán aquellos que llamaremos \textit{grupos matriciales} (en la literatura en inglés, ``matrix groups), cuya definición daremos a continuación.

Definición. (Grupo Matricial) Llamaremos grupo matricial a cualquier grupo topológico que sea isomorfo-homeomorfo a un subgrupo cerrado de algún grupo lineal general.


Grupos de matrices cerrados como subespacios son, por lo tanto, grupos matriciales. Sigue de los trabajos previos que los grupos SL(n) y O(n) son grupos matriciales. Igualmente, SO(n) = O+(n) = SL(n) ∩ O(n), ya que es la intersección de dos cerrados. Recordemos que la proposición 14.2.2 establece que subgrupos abiertos son

cerrados. Hay, sin embargo, subgrupos cerrados que no son abiertos, por ejemplo Z en R.

Sigue de los trabajos previos que los grupos SL(n) y O(n) son grupos matriciales. Igualmente, SO(n) = O+(n) = SL(n)O(n), por lo que es un subgrupo cerrado de GL(n), ya que es la intersección de dos cerrados.


Mostraremos, a continuación, otros interesantes grupos de matrices que son grupos matriciales. Para probar la cerradura topológica, recurriremos, muchas veces, al siguiente lema.

Lema 15.1.1 (Lema–C). Sea A un subconjunto de GL(n) tal que todas las matrices en A tienen nulas iguales coordenadas. Entonces, A es cerrado en GL(n).

    Demostración. Sean p1, ... , pk las proyecciones correspondientes a las coordenadas que son nulas. Entonces, el conjunto es un conjunto cerrado ya que es una intersección de finitos cerrados. Como A = F ∩ GL(n), A es cerrado en la topología relativa de subespacio de GL(n).


Ejemplo 15.1.1. Sea ( Matrices 2 × 2 triangulares superiores especiales)

Observado que la coordenada 2,1 es nula para todas las matrices de G, sigue del Lema C, que G es un subconjunto cerrado de SL(2) y, por lo tanto, de GL(2).

Veamos que se trata de un grupo, subgrupol de GL(2). Claramente, la identidad I está en G (x = 0). Sea . Entonces,

Luego, A(x)A(−x) = A(x + (−x)) = A(0) = I, lo que prueba que el producto de dos matrices de G y la inversa de cada matriz en G, están en G. Por lo tanto, G = SUT(2) es un subgrupo cerrado de GL(2), o sea que se trata de un grupo matricial.


Ejemplo 15.1.2. (Usamos la notación del ejemplo anterior) Sea A : R → SUT(2) tal que x ↦ A(x). Por la relación obtenida arriba, tenemos que A es un homomorfismo, que como función es claramente biyectiva, por lo que es un isomorfismo de grupos, que es claramente continuo, lo mismo que su inversa. Lo que prueba que el grupo aditivo de los reales <R,+> es isomorfo–homeomorfo a un grupo matricial; o sea que es un grupo matricial.

Ejercicios 15.1[editar]

  1. Sean G1 un grupo de matrices m×m y G2 un subgrupo de matrices n×n. Sea G = G1 × G2 el grupo producto (con operación por coordenadas). G puede considerarse como un grupo de matrices (m + n) × (m + n) con elemento típico

    donde A es un elemento de G1 y B un elemento de G2. Probar que G es un grupo matricial, subgrupo cerrado de GL(m + n).. Generalizar lo anterior a un producto de una cantidad finita de grupos matriciales.

  2. Probar que <Rn, +> (+ es la suma de vectores) es un grupo matricial. (Sugerencia: usar el ejercicio anterior y el ejemplo 15.1.2.)
  3. Sea θ el ángulo π/3 (= 60◦). La rotación por θ alrededor del origen está dado por la transformación lineal con matriz
    1. Probar que ρ6 = id y que ρk ≠ id, cuando k = 1, ... , 5.
    2. Sea C6 = {id, ρ, . . . , ρ5}. Probar que C6 es un grupo matricial.

E l Grupo Euclídeo[editar]

Sea E un espacio euclídeo. Una isometría T de E es una transformación biyectiva de E en si mismo que preserva la distancia entre puntos, es decir que

d(T(x), T(y)) = d(x, y).

Se notará que tal noción es la generalización de la noción de congruencia del plano. Denotaremos por Eucl(E) al conjunto de todas las isometrías de E. Dicho conjunt La noción de isometría apareció en la sección 4.2.2, donde se probó que las isometrías determinan un grupo de transformaciones, al que llamaremos el grupo euclídeo de E---que sea un grupo implica que la composición de dos isometrías y la inversa de una isometría son isometrías. Denotaremos por Eucl(E)$ al grupo Euclídeo de E. En una próxima sección, probaremos que es un grupo matricial, aunque tal hecho no es aparente de la definición.

Las Traslaciones[editar]

Los primeros ejemplos de isometrías son las traslaciones. Una traslación por un vector a es la transformación que denotaremos por ta y que será tal que ta(x) = a + x [1]. Notemos que la traslación por el vector nulo, t0, coincide con la identidad id.

Proposición 15.2.1 (Propiedades de las Traslaciones).

(a) La composición de dos traslaciones es una traslación, tatb = ta+b.
(b) La inversa de una traslación es una traslación, (ta)−1 = t−a.
(c) Las traslaciones son isometrías.
(d) Las traslaciones son homeomorfismos.

    Demostración. Tenemos que ta(tb(x)) = ta(b+x) = a+(b+x) = (a+b)+x = ta+b(x). Luego, ta ◦ tb = ta+b. Poniendo b = −a, obtenemos que tat−a = t0 = id. Lo que acaba la prueba. de (a) y (b). Como

    d(ta(x), ta(y)) = d(a + x, a + y) = ||(a + x) − (a + y)|| = ||x − y|| = d(x, y),

    vemos que las traslaciones son isometrías.

    Finalmente, sabemos que las isometrías son homeomorfismos (ver el ejemplo 8.3.4 del capítulo 8).


Denotaremos por Tras(E) al conjunto formado por todas las traslaciones de E. Sigue de las partes (a) y (b) de la proposición, que se trata de un grupo de transformaciones, que por (c) es un subgrupo del grupo de las isometrías. Más adelante, probaremos que se trata de un grupo matricial.

Las Transformaciones Ortogonales[editar]

Recordemos que las trasformaciones ortogonales son las transformaciones lineales que preservan el producto interior. Sigue de la proposición 13.3.1 que el grupo O(n) de las transformaciones ortogonales es un subgrupo de Eucl(E). Recordemos que las transformaciones ortogonales preservan el origen, por lo que, excepto por t0 = id, las traslaciones no pueden ser transformaciones ortogonales.

La estructura del Grupo Euclídeo[editar]

Sea f : E → E una isometría cualquiera y supongamos que f(0) = a. Entonces, t−af es una isometría (composición de isometrías) y (t−af)(0) = t−a(f(0)) = t−a(a) = −a + a = 0. Es decir que t−af = u, donde u es una isometría que fija el origen. Luego f = tau. Por lo que podemos afirmar lo siguiente.

Proposición 15.2.2. Cada isometría es el producto de una traslación por una isometría que preserva el origen.


Veremos, después de algunos lemas que las isometrías que fijan el origen son ortogonales.

Lema 15.2.3. Una isometría u que preserva el origen, preserva largos.

    Demostración. ||u(x)|| = ||u(x)−u(0)|| = d(u(x), u(0)) = d(x, 0) = ||x−0|| = ||x||.


Lema 15.2.4. Una isometría u que preserva largos es ortogonal.

    Demostración. Por ser isometría. se tiene que d(u(x), u(y)) = d(x, y) de donde ||u(x) − u(y)||2 = ||x − y||2. Usando el lema del cuadrado del binomio (3.2.2), se tiene entonces que ||u(x)||2 − 2u(x) · u(y) + ||u(y)||2 = ||x||2 − 2x · y + ||y||2.
    De donde, u(x) · u(y) = x · y.


Lema 15.2.5. Sea u una isometría ortogonal. Entonces, u es lineal._

    Demostración. Notemos que por ser u ortogonal, preserva origen y largos. Sea B = {e_1, ... , e_n} una base ortonormal del espacio. Como u preserva largos, es ortogonal. Luego, u(B) = {u(e_1), ... , u(e_n)} es un conjunto ortonormal. Sea A la matriz cuyas columnas son u(e_i), 1 ≤ i ≤ n, por lo que la transformación lineal L = L_A es ortogonal. Sea h = L−1 u. Observemos que h es una isometría tal que para cada i, 1 ≤ i ≤ n, se cumple que h(e_i) = e_i. Sea x = \&sum_i x_ie_i y supongamos que h(x) = ∑α_ie_i. Entonces,
    αi = h(x) · e_i = h(x) · h(e_i) = x · e_i = x_i.

    Lo que implica que h(x) = x. Como x era arbitrario, esto nos dice que h = id. Luego, L−1 u = id, lo que implica que u = L, es decir que u es lineal. Notemos, además, que al ser u lineal y cumplirse que u(x) = 0 implica que x = 0 (ya que se preservan largos), por lo que tenemos que u es biyectiva (o sea un isomorfismo lineal).


Proposición 15.2.6. Cada isometría es el producto de una traslación por una transformación lineal ortogonal biyectiva.

Corolario 15.2.7. Las isometrías son siempre transformaciones biyectivas.


Ejercicios 15.2[editar]

Suponemos que E es un espacio euclídeo de dimensión n.

  1. Sean p y q dos puntos de E, probar que hay una traslación que envía p en q.
  2. Sea p un punto y sea Euclp el conjunto formado por todas las isometrías que fijan p.
    a) Probar que Euclp es un subgrupo de Eucl(E).
    b) Sea q = ta(p). Probar que Euclp = ta Euclq t−a. (Ambos grupos son conjugados.)
  3. Sean p y q dos vectores de E de igual largo, probar que hay una transformación ortogonal que envía p en q.
  4. (Simetría central con centro en c.) Sea c un punto de E. Sea σc(p) = 2c − p.
    1. La transformación σc fija c y envía cada punto p distinto de c en un punto p′ tal que c es el punto medio entre p y p′.
    2. σc2 = id.
    3. σc es una isometría.
    4. Sea σ0 la simetría con centro el origen. Probar que
      (i) σ0es una transformación ortogonal y
      (ii) σc = tcσct−c.
    5. Sean c y d puntos diferentes. Probar que σcσd = σdσc es una traslación.
  5. Las isometrías son homeomorfismos del espacio en si mismo.
  6. Probar que el grupo de las traslaciones Tras(E) es isomorfo al gruo aditivo de Rn.

El Grupo Afín[editar]

El grupo afín es la generalización del grupo euclídeo, donde una isometría es el producto de una traslación por una transformación (lineal) ortogonal.

Definición. (Grupo Afín) Llamamos transformación afín a un transformación que es el producto de una traslación por una transformación lineal biyectiva cualquiera.

Sigue de los trabajos anteriores que las isometrías son transformaciones afines, cuya parte lineal es ortogonal. En particular, las traslaciones son trasformaciones afines (producto de una traslación por la identidad---que es lineal). Esto implica que habrá transformaciones afines que no preservan el origen, por lo que no pueden ser lineales.

(♠) Geométricamente las transformaciones afines son importantes porque se puede probar que una transformación biyectiva envía líneas sobre líneas si, y sólo si, es afín.



Veamos, a continuación, que las transformaciones afines determinan un grupo. Sean f = tvA y g = twB dos transformaciones afines. Entonces, para todo x en E, se tiene que

Por lo que la composición de transformaciones afines es una transformación afín. Notemos, también, que

donde w = −A−1(v).

En consecuencia, las transformaciones afines determinan un grupo de transformaciones que llamamos el grupo afín y que denotamos por GA(n) o GAn(R).

Proposición 15.3.1. Las transformaciones afines determinan un grupo de transformaciones al que llamamos el grupo afín y denotamos por GA(n) o GAn(R).


Notemos que el grupo lineal está contenido en el grupo afín, ya que cualquier A en GL(n) es igual a t0A, por lo que es afín. Es decir que el grupo afín contiene al grupo lineal, y a todos sus subgrupos. .

Representación matricial de GA(n)[editar]

En esta sección, veremos que el grupo afín es un grupo matricial, construyendo un homomorfismo continuo inyectivo del grupo afín GA(n) en el grupo GL(n + 1), cuya imagen. Dicha representación tendrá, posteriormente, otras aplicaciones

Sean A una matriz n × n y v un vector cualquiera de Rn, asociaremos con el par (A, v) la matriz (n + 1) × (n + 1) que denotaremos por T(A, v) y que definiremos como

Los siguientes lemas mostrarán que las matrices de la forma T(A, v) forman un subgrupo de GL(n + 1). Lema 15.4.1. T(A; v)T(B;w) = T(AB;Aw + v)

    Demostración. Computación directa.


Comparar el resultado del lema con lo visto para el producto de dos transformaciones afines.

Lema 15.4.2. Sean A en GL(n), v en Rn. Entonces, T(A, v) es invertible, con inversa

    Demostración. Usando la relación en lema 15.4.1, se tiene que


El siguiente lema nos ayudará para nuestros propósitos.

Lema 13.4.4 (Lema–D). Sea A en GL(n), B = T(A, 0). Entonces,

  1. A es invertible, ssi, B lo es.
  2. A es ortogonal, ssi, B lo es.
  3. det(A) = 1, ssi, det(B) = 1.

Demostración.

  1. Sigue del lema 13.4.3
  2. Se tiene, usando lema 13.4.2, que BBt = T(A; 0)T(At; 0) = T(AAt, 0).
  3. Trivial, ya que det(B) = det(A).


Sean

Sigue de los lemas anteriores que , determinan subgrupos de GL(n + 1) que además, por el Lema–C, cada uno de ellos es cerrado (topológicamente).

Definamos ϕ : GA(n)GL(n + 1) tal que ϕ(tcA) = T(A, c). Sigue del lema 14.3.2, que ϕ es un homomorfismo de grupos. Como T(A, v) = In+1, ssi, A = In y v = 0, concluimos que ϕ es inyectivo, por lo que GA(n) es isomorfo a su imagen, que es precisamente . Como ese isomorfismo y su inverso (definido en su imagen) son claramente continuos, concluimos que el grupo afín es un grupo matricial.

Se tiene también, por el Lema–D, que: , , y lo que implica respectivos isomorfismos homeomórficos. Resultados que usaremos más adelante.

I=== El Grupo Euclídeo ===

Proposición 15.3.4. Sea Tras(n) el grupo de las traslaciones de Rn. Sea tv la traslación por el vector v. Entonces. ϕ(tv) = ϕ(I, v), donde I es la matriz identidad. ϕ induce un isomorfismo algebraico entre Tras(n) y el subgrupo = {T(A, V ) : A = I} de . Lo que implica que Tras(n) es un grupo matricial.

    Demostración. Sigue de 15.3.1 que T(I, v)T(I,w) = T(I, v + w), lo que prueba que la restricción de ϕ a Tras(n) es un isomorfismo de grupos de Tras en . Claramente, ϕ es también un homeomorfismo, y Tras(n) es cerrado en GA.


Proposición 15.3.5. El grupo Euclídeo es un grupo matricial.

    Demostración. Basta con observar que si tv es una traslación y A es ortogonal, entonces,
    ϕ(v,A) = T(A, v) = T(A, Iv) = T(I, v)T(A, 0).


Los Grupos Ortogonales y Las Esferas[editar]

En esta sección, continuaremos usando las notaciones introducidas en la sección anterior.

Supongamos que nuestro espacio es Rn+1 provisto de una base ortonormal (e1, ... , en, en+1). Probaremos que O(n) puede identificarse con las transformaciones en O(n + 1) que fijan en+1.

Sea σ una transformación ortogonal en O(n + 1) que fija a en+1. Sea [aij] la matriz de σ. Como σ(en+1) = en+1 se tiene que ai,n+1 = δi,n+1 (δ de Kronecker), o sea que el único elemento no nulo de esa columna es a n+1,n+1 que es igual a 1. Por su parte, la última fila de la matriz de σ es un vector unitario. Es decir que .

Pero, como an+1,n+1 = 1, tenemos que an+1,j = 0 cuando j ≤ n. Es decir que σ es un elemento de GO, o sea que GO está formado por todas las transformaciones ortogonales de Rn+1 que fijan en+1. Usando la identificación de O(n) con GO tenemso que podemos considerar a O(n) como un subgrupo de O(n + 1) que fija en+1.

Sea τ una transformación ortogonal en O(n + 1) que fija a en+1. Sea [aij ] la matriz de τ . Como τ (en+1) = en+1 se tiene que ai,n+1 = δi,n+1 (δ de Kronecker), o sea que el único elemento no nulo de esa columna es an+1,n+1 que es igual a 1.

Por su parte, la última fila de la matriz de τ es un vector unitario. Es decir que . Pero como an+1,n+1 = 1, tenemos que an+1,j = 0 cuando j < n. Es decir que τ es un elemento de , o sea que está formado por todas las transformaciones ortogonales que fijan en+1. Identificando con O(n) tenemos la identificación anunciada.


Sean, ahora, σ, τ dos ortogonales de O(n + 1) que fijan a en+1. Entonces,

Por lo tanto, σ−1τ está en O(n). La relación entre σ y τ definida como que σ−1τ ∈ O(n) es una relación de equivalencia en O(n+1) cuyas clases de equivalencias son los subconjuntos de la forma σO(n) (todos los productos de σ por un elemento de O(n)).

Denotamos por O(n+1)/O(n) al correspondiente conjunto cociente con la topología inducida por la función η : O(n + 1)O(n + 1)/O(n) tal que η(σ) = σO(n) (la clase de equivalencia de σ). Se tiene que η es continua y abierta (envía abiertos en abiertos).


Sea Sn la esfera unitaria de Rn+1 o sea el conjunto formado por todos los vectores de largo 1. Cada transformación ortogonal actúa en Sn---, ya que preserva largos, envía puntos de Sn en Sn. Consideremos la órbita de en+1, o sea el subconjunto de Sn formado por todos los σ(en+1) con σ en O(n+1). Dado v en Sn, siempre hay una transformación ortogonal σ tal que σ(en+1) = v; basta tomar una base ortonormal (v1, ... , vn+1 = v) y definir σ como la transformación cuya matriz tenga como columnas a los vectores de la base anterior.

Definamos una función π : O(n + 1) → Sn tal π(σ) = &sigma(en+1). Notemos que por lo anterior (i) π es suprayectiva y (ii) π(σ) = π(&tau) ⇐⇒ &sigma-1τ ∈ O(n).

Cuando σ = [aij ] entonces σ(en+1)t = [a1,n+1 ... an+1,n+1]; lo que prueba que π es una función continua.

Por lo que hay una función π*: O(n + 1)/O(n) → Sn tal que el diagrama en la figura 15.1 es conmutativo.

Figura 15-01.jpg
Figura 15.1: Cociente homeomórfico a la Esfera Sn.

La función π* es biyectiva y continua. Como O(n+1)/O(n) es compacto (imagen continua de compacto) y Sn es Hausdorff (subconjunto de un espacio métrico), entonces por la proposición 11.3.16, π* es un homeomorfismo. Tenemos, en consecuencia, la siguiente proposición.

Proposición 15.4.1. Sea n ≥ 1 entonces .

Grupos Ortogonales Especiales[editar]

Una revisión de los argumentos anteriores, muestra que los razonamientos anteriores son válidos para los SO(n), Por lo que se obtiene el siguiente resultado.

Proposición 15.4.2. Sea n ≥ 1 entonces SO(n + 1)/SO(n) ∼= Sn.


Proposición 15.4.3. Los grupos SO(n) son conexos, para todo n.

    Demostración. (Inducción) Si n = 1, SO(1) = {1} es conexo. Supongamos probado que SO(n) es conexo. Entonces, como SO(n + 1)/ SO(n)Sn y sabemos que Sn es conexo (ver proposición 10.6.7) y SO(n) lo es por hipótesis, SO(n+1) también es conexo, por la proposición 14.1.18.


Ejercicios del Capítulo 15[editar]

  1. (Representación Matricial de los Grupos Finitos) Sea (ei) la base canónica de Rn; o sea ei es un vector cuyas componentes son todas nulas, excepto la i–ésima que es igual a 1.
    Sea G = {g1 = e, g2, ... , gn} un grupo. Identificar cada gi con ei. i = 1, ... , n. Es decir que consideramos a los vectores de Rn como sumas formales
    α1g1 + · · · + αngn.

    Con cada g asociamos la transformación lineal Lg cuya matriz tiene como columnas a los vectores ggi. Si ggi = gj , Lg envía ei en ej . Probar que la función L : G → GL(n) tal que g ↦ Lg es un homomorfismo cuya imagen es un subgrupo cerrado de GL(n). Es decir que cada grupo finito es un grupo matricial.

  2. (Toro) Llamamos Toro (de dimensión 2) al espacio S1 ×S1, que puede pensarse como la superficie de una rosquilla.
    1. Investigar las propiedades topológicas del toro. ¿Es compacto? ¿Es conexo? ¿Es acotado?
    2. Como S1 es un grupo topológico, el toro también lo es. ¿Es conmutativo?
    3. Sea Z2 el subconjunto de R2 formado por todos los puntos con ambas coordenadas enteras, Probar que Z2 es un subgrupo cerrado y que R2/Z2 es homeomórfico a T.
    4. Generalizar el ejercicio anterior a G = Rn y H = Zn. Probar que G/H es homeomórfico al producto de n copias de S1.
  3. GL(n) no es compacto para todo n ≥ 1. SL(n) no es compacto para todo n ≥ 2.
  4. Sea G un grupo matricial y H un subgrupo cerrado de G, entonces H es matricial.
  5. ¿Es compacto el grupo afín GA(n)?
  6. Sea G un subgrupo compacto de GL(n), entonces cada elemento de G tiene determinante igual a 1 o −1.
  7. . Sea
    1. H es un subgrupo de SL(2).
    2. El grupo SO(2) es un subgrupo de SL(2).
    3. Sea η: SO(2) × H → SL(2) tal que (A,B) ↦ AB. Probar que η es un homeomorfismo que no es un homomorfismo de grupos.

Referencias[editar]

  1. Las traslaciones son las “traslaciones por la izquierda” L g del lema 14.1.1, del grupo aditivo de Rn. Algunas de las propiedades de la sección se pueden deducir utilizando los resultados del lema citado.