Si
es un grupo y
es un subgrupo de
, no es cierto en general que
, aunque claramente esto sí sucede cuando
es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo
que cumplen esto mismo sin necesidad de que
sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.
Definición 1.29: Sea
un grupo y
un subgrupo de
. Se dice que
es normal en
si
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para todo
de
. Este hecho lo representaremos por
.
Equivalentemente tenemos que
si y sólo si
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Tenemos pues que si
, entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo
coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente
. Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.
Teorema 1.30: Sea
un grupo y
. Entonces
es un grupo, llamado grupo cociente de
por
, con la operación de grupo dada por
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Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en
dada por
tiene sentido, es decir, que si
y
, entonces
. Esto es así, pues
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con

y

(pues

y

), así es que

, pero como

, también

, luego

, y entonces

, lo que prueba que

. Hemos probado que la operación definida en

tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de

es

, y el inverso de todo

de

es

. Con esto queda probado que

es un grupo.

Si
es un homomorfismo de grupos, entonces
. En efecto, pues si
y
, entonces
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luego
, así que
para todo
de
, luego podemos cambiar
por
y así tener que
, luego para todo
de
se tiene
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lo que demuestra que
, completando la prueba de que
.
Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos
es un subgrupo normal del dominio de
. Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo
es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es
.
Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si
es un subgrupo normal de
, la aplicación
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es claramente un epimorfismo, y es llamado
proyección canónica. Puesto que

si y sólo si

, i.e. si y sólo si

, tenemos que

.

Sea
un grupo y
, y defínanse los conjuntos
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Llamaremos normalizador de
al conjunto
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Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si
(i.e. si
y
) entonces también
, y que además
y
.
Si
es un subgrupo de
, entonces claramente
. Más aún,
es el mayor subgrupo de
en el cual
es normal. En otras palabras,
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Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si
es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto
de
. A este conjunto se le llama centralizador de
, y lo denotaremos por
. Así pues,
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Notar que
;
equivale a decir que
es abeliano.
Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.
Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea
un homomorfismo de grupos y
un subgrupo normal de
tal que
. Entonces existe un único homomorfismo
tal que
, donde
es la proyección canónica. Además:
- (1)
es un epimorfismo si y sólo si
lo es;
- (2)

- (3)
es un monomorfismo si y sólo si 
Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo
es la aplicación dada por
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Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si

, entonces

, y como

, también

, luego

. Es fácil ver que

es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por

, es el único homomorfismo que cumple

. (1) es evidente. (2)

.

es un monomorfismo si y sólo si

es el subgrupo trivial de

, es decir, si y sólo si

.

El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si
es un homomorfismo de grupos y
un subgrupo normal de
tal que
, entonces existe un único homomorfismo
que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:
Teorema 1.33 (Primer teorema de isomorfía): Si
es un homomorfismo de grupos, entonces
.
Demostración: El teorema anterior nos da un homomorfismo

entre

y

, que se convierte en epimorfismo si en lugar de

tomamos simplemente

, pero por (3) del teorema anterior

es también un monomorfismo, luego termina siendo un isomorfismo.

Teorema 1.34 (Segundo teorema de isomorfía): Si
es un subgrupo normal de un grupo
y
es un subgrupo cualquiera de
, entonces
es normal en
y
.
Demostración: La aplicación
es un epimorfismo, y como

, el primer teorema de isomorfía nos da un isomorfismo

.

Teorema 1.34 (Tercer teorema de isomorfía): Si
y
son dos subgrupos normales en un grupo
, con
, entonces
.
Demostración: Sea

la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31,

, luego

, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo

, pero

si y sólo si

, lo cual sucede si y sólo si

, luego

, así es que, por el primer teorema de isomorfía, existe un isomorfismo entre

y

.
