Definición 1.14: Sea
un grupo. Se dice que
es un subgrupo de
, hecho que se representa por
, si
y si
es él mismo un grupo respecto de la operación de
.
Es claro que la identidad de
es la misma que la identidad de
, pues éste es el único elemento
de
que cumple
. También los inversos de los elementos de
son los mismos en
que en
.
Todo grupo
tiene al menos dos subgrupos, a saber,
mismo y el grupo
, llamado subgrupo trivial de
, que sólo contiene a la identidad de
. Cualquier otro subgrupo de
disitinto de
y
se dice subgrupo propio de
.
Teorema 1.15: Sea
un grupo y
con
no vacío. Entonces
si y sólo si
para cualesquiera
y
de
.
Demostración: La implicación es obvia. Si

es un subconjunto no vacío de

tal que

para todo

, entonces, en particular,

(el elemento

existe, pues

es no vacío). Luego también

. Además, puesto que

, la operación binaria de

es también operación binaria en

, lo que demuestra que

es un subgrupo de

.

Si
es un homomorfismo de grupos entonces
es un subgrupo de
. En efecto, pues si
, entonces
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|
|
por lo que
, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que
.
He aquí otros dos hechos, aún más básicos, acerca de subgrupos:
- Si
y
, entonces
.
- Si
y
, entonces
.
Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.
Un subgrupo propio
de un grupo
se dice subgrupo maximal de
si
implica
o
para cualquiera que sea el conjunto
.