Definición 1.10: Sean
y
dos grupos. Una aplicación
se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si
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para todo
,
de
.
Es claro que si
y
son homomorfismos entonces
es un homomorfismo.
Teorema 1.11: Sean
y
dos grupos y
un homomorfismo. Se cumple que
- si
y
son las identidades de
y
, respectivamente, entonces
;
- si
entonces
.
Demostración: En efecto, pues

, lo que implica

. Además,

, luego

.

Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo
en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo
en sí mismo se dice un automorfismo.
Dos grupos
y
se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por
. Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para
respecto de su operación de grupo vale también para
respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista
y
sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico
y
son el mismo objeto.
Sea
un grupo. Denotaremos por
al conjunto de todos los automorfismos del grupo
. Puede probarse que
es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.
Definición 1.12: Sean
y
dos grupos y sea
un homomorfismo entre ellos. El núcleo de
se define como el conjunto
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donde
es la identidad de
.
Teorema 1.13: Sean
y
dos grupos cualesquiera. La aplicación
es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y
.
Demostración: Si

es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento

de

tal que

, y por el teorema 1.11, ese elemento es

, de modo que

. Recíprocamente, si

y

, entonces

, lo que implica

, luego

y así

, por lo que

es inyectiva y con ello un monomorfismo.

El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo
entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso
es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).