Matemáticas/Teoría de anillos/Ideales y Divisibilidad

Ideal

Un ideal es una subestructura algebraica definida en la teoría de anillos. Los ideales generalizan, de manera fecunda, el estudio de la divisibilidad entre los números enteros hacia otros objetos matemáticos. De este modo, es posible enunciar versiones muy generales de teoremas de la aritmética elemental, tales como el teorema chino del resto o el teorema fundamental de la aritmética, válidos para los ideales. Se puede comparar también esta noción con la de subgrupo normal para la estructura algebraica de grupo en el sentido de que facilita definir la noción de anillo cociente como una extensión natural de la noción de grupo cociente .

Definición

Un subconjunto $I$ no vacío de un anillo $A$ es un ideal por la izquierda de A si:

1. I es un subgrupo aditivo de A.
2. $\mathrm{\forall }(a,x)\in A\times I:a\times x\in I$ (El producto por la izquierda de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

y es un ideal por la derecha de A si:

1. I es un subgrupo aditivo de A.
2. $\mathrm{\forall }(x,a)\in I\times A:x\times a\in I$ (El producto por la derecha de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

Un ideal bilátero es un ideal por la derecha y por la izquierda. En un anillo conmutativo, las nociones de ideal por la derecha, de ideal por la izquierda y de ideal bilátero coinciden y simplemente se habla de ideal.

Ejemplos

• Para todo entero relativo $k$, $k\mathbb{Z}$ es un ideal de $\mathbb{Z}$.
• Si A es un anillo, {0} y A son ideales triviales de A. Estos dos ideales tienen un interés muy limitado. Por esta razón se llamará ideal propio a todo ideal no trivial.
• Si A es un anillo unitario y si $I$ es un ideal que contiene a 1 entonces $I=A$. De modo más general, si, $I$ contiene un elemento inversible, entonces $I=A$
• Los únicos ideales en un cuerpo $K$ son los ideales triviales.

Operaciones con ideales

Suma

Si I y J son dos ideales de un anillo A, entonces se puede comprobar que el conjunto $I+J=\{x+y:x\in Iey\in J\}$ es un ideal.

Demostración: Para comprobar que el aserto es correcto, debemos comprobar en primer lugar que I+J es subgrupo del grupo aditivo de A, i.e., $(A,+)$, y en segundo lugar tendremos que comprobar que $xa\in (I+J),\mathrm{\forall }x\in A,\mathrm{\forall }a\in (I+J)$.

• En primer lugar, sea $z_1,z_2\in (I+J)\Rightarrow \mathrm{\exists }(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in I\times J$ tales que $z_i=x_i+y_i(i=1,2)$. Como $I,J$ son ideales, entonces son subgrupos de $A$ y por ende, $(x_1-x_2,y_1-y_2)\in I\times J$, de manera que $z_1+(-z_2)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)$ es un elemento del conjunto $I+J$. Ergo, $\mathrm{\forall }{z}_1,z_2\in I+J,(z_1-z_2)\in I+J$, por lo tanto $I+J$ es subgrupo de $(A,+)$.
• En segundo lugar, sea $z=(x+y)\in I+J$. Por ser $I,J$ ideales de A se tiene que $(a\cdot x,b\cdot y)\in I\times J,\mathrm{\forall }a,b\in A$. De este modo, $a\cdot z=a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y=(a\cdot x)+(a\cdot y)$. Dado que $a\cdot x\in I,\mathrm{\forall }a\in A$ y lo análogo para $a\cdot y$, se tiene que $a\cdot z\in I+J$.

Con esto queda demostrado que era correcta la afirmación enunciada.

Intersección

Toda intersección de ideales es un ideal.

Demostración: Sea una familia de ideales $\{I_k\}$, queremos comprobar que $I=\bigcap _k{I}_k$ es ideal:

• Comprobemos que es subgrupo del grupo aditivo $(A,+)$. Sean $x,y\in \bigcap _k{I}_k$, entonces se tiene que $x,y\in I_k,\mathrm{\forall }k$. Como los $I_k$ son ideales, entonces $x-y\in I_k,\mathrm{\forall }k$, por lo que a su vez se tiene que $x-y\in \bigcap _k{I}_k=I$. Por consiguiente I es subgrupo de $(A,+)$.
• Comprobemos ahora que $a\cdot x\in I,\mathrm{\forall }a\in A,x\in I$. Supongamos que $x\in I\Rightarrow x\in \bigcap _k{I}_k\Rightarrow x\in I_k,\mathrm{\forall }k$. Ahora bien, como los $I_k$ son ideales, sabemos que $a\cdot x\in I_k,\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\forall }k\Rightarrow a\cdot x\in \bigcap _k{I}_k,\mathrm{\forall }a\in A$. Por consiguiente $a\cdot x\in I,\mathrm{\forall }a\in A,x\in I$.

Queda con esto demostrado el aserto anterior, i.e., $\bigcap _k{I}_k$ es ideal, siendo $\{I_k\}$ una familia arbitraria de ideales de A.

El conjunto de los ideales de A con estas dos operaciones forma una cadena. De esta segunda ley se permite la noción de ideal generado. Si P es un subconjunto de un anillo A, se llama ideal generado por P a la intersección de todos los ideales de A que contienen a P, notado usualmente como $⟨P⟩$. Se puede comprobar que:

1. $⟨P⟩=\{a_1{x}_1+\dots +a_n{x}_n:a_1,\dots ,a_n\in P,x_1,\dots ,x_n\in A\}$
2. $I+J=⟨I\cup J⟩=\bigcap _k\{G_k:G_k\text{~es~ideal~en~}A\text{~y~}(I\cup J)\subseteq G_k\}$

Ejemplos:

• Para un anillo $A$, a ∈ A engendra el ideal $aA$ (por ejemplo n engendra $n\mathbb{Z}$, ideal de $\mathbb{Z}$)
• Si I y J son dos ideales de A, el ideal $I+J$ está engendrado por el subconjunto $I\cup J$ de A.

Producto

Si I y J son dos ideales de un anillo, se llama producto de I y J al ideal $IJ$ engendrado por todos los elementos de la forma xy donde x pertenece a I e y pertenece a J. Se tiene que $IJ\subset I\cap J$.

Como ejemplo, en el anillo $\mathbb{Z}$ , el producto de los ideales $n\mathbb{Z}$ y $p\mathbb{Z}$ es el ideal $np\mathbb{Z}$ y este último está incluido en $n\mathbb{Z}\cap p\mathbb{Z}$.

Anillo cociente

Si I es un ideal bilátero del anillo A, la relación $xℛy\iff x-y\in I$ es una relación de equivalencia compatible con las dos leyes del anillo. Se puede crear entonces, sobre el conjunto de las clases $\dot{x}=x+I$ una estructura de anillo denominada anillo cociente A/ I del anillo A por el ideal I. La construcción se realiza sobre la base del grupo aditivo del anillo. Cabe tomar como elementos de A/I las clases adjuntas a + I( llamadas «clases de restos respecto al módulo del ideal I»).

Como suma de clases se define por (a +I) +^º (b+ I) =(a+b) + L; el opuesto -^º(a+I) = -a + I.

Como producto de clases (a+I) ×^º (b+I)= ab + I.

Casos particulares

Ideal principal: es un ideal generado por un único elemento.

Ideal primario: en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es primario si y solo si para todo a y b tales que $ab\in I$ , si $a\notin I$ entonces existe un entero natural n tal que $b^n\in I$.

Ideal primo: en un anillo conmutativo unitario, I es un ideal primo si y solo si I es distinto de A y, para todo a y b pertenecientes a A tales que $ab\in I$, si $a\notin I$ entonces $b\in I$.

$P$ es un ideal primo de $A\iff$ $A/P$ es dominio de integridad.

Ideal irreducible : en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es irreducible si no se puede escribir como intersección de dos ideales J y K diferentes de I.

Ideal maximal : Un ideal $M$ es maximal $\iff$ existen exactamente dos ideales que contienen a $M$, a saber, $A$ y el mismo $M$.

En un anillo conmutativo unitario, un ideal maximal es necesariamente primo.

el ideal $M$ es un ideal maximal de $A$ si y solo si $A/M$ es un cuerpo.

Radical de un ideal: Si I es un ideal de un anillo conmutativo A, se llama radical de I, y se escribe $\sqrt{I}$ , al conjunto de los elementos x de A tales que existe un entero natural n para el cual $x^n\in I$. Es un ideal de A.

Ejemplo: $30\mathbb{Z}$ es el radical de $360\mathbb{Z}$

Si $A$ es un anillo conmutativo, entonces tiene las propiedades siguientes:

• $\sqrt{I}\supset I$
• $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$
• $\sqrt{IJ}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J}$
• Si, además, $A$ es unitario, $\sqrt{I}=A\iff I=A$