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Precálculo

Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

por ejemplo: $p(x)=x^{3}+x^{2}-x+2$

Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).

A las funciones polinómicas de

-grado 0 se les llama funciones constantes

-grado 1 se les llama funciones lineales,

-grado 2 se les llama funciones cuadráticas,

-grado 3 se les llama funciones cúbicas.

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en interpolación spline y gráficos por ordenador.

Definición algebraica

Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

Unidad 1: Geometría.

Temas:

• Trigonometría.
• Figuras y sólidos.
• Distancia, Áreas y volúmenes.
• Aplicaciones.

Competencias Específicas:

• Enunciar y aplicar en la resolución de problemas los teoremas del seno y del coseno.
• Reconocer las diferentes figuras geométricas: Triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares.
• Calcular distancias: alturas, diagonales, perímetros.
• Calcular volúmenes de cubos, prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas.
• Reconocer en un poliedro aristas paralelas, que se cruzan o secantes.
• Reconocer en un poliedro caras paralelas u ortogonales.
• Calcular distancias en poliedros: diagonales, alturas, aristas, etc.
• Reconocer los diferentes sólidos.
• Describir los poliedros regulares.
• Aplicar los cálculos involucrados en esta unidad a situaciones reales.

En esta unidad aprenderás todo sobre:

• Cotas, extremos, máximos y mínimos de conjuntos de números reales. (no)
  • Identificar y determinar cotas, extremos, máximo y mínimo de un conjunto de números reales. (no)
• Intervalos.(no)
  • Definir intervalos abiertos, cerrados, acotados y no acotados.(no)
  • Representación de intervalos.(no)

Enlaces:

para estudiar estos temas te indico los siguientes enlaces:

• Fundamentación de Programación Lineal
• Libro de Matemáticas

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Historia de la programación lineal

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantorovich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. Leonid Khachiyan en 1979 fue el primero en demostrar que el problema de la programación lineal se solucionaba en tiempo polinomial, sin embargo, el mejor avance en los principios teóricos y prácticos en el campo se produjo en 1984, cuando Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal.

El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.

Variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera. El límite de una función se puede entender como el valor al que tiende una función si su variable se acerca a cierto valor, sin llegar a ser éste.

Notación:

Introducción

Sea la función $f(x)=5x$. Si quiero saber a qué valor tiende $f(x)$ para $x$ tendiendo al infinito, se puede asignarle valores cada vez más grande a $x$ , entonces tenemos para $x=5$, $f(x)=500$, para $x=100000$, $f(x)=500000$, y así sucesivamente, por lo que podemos suponer (sin entrar en mas detalles), que el límite de $f(x)=5x$ es infinito cuando $x$ tiende a infinito (también puede deducirse ya que la función es estrictamente creciente).

Si ahora tengo f(X)=1/X , para X=2 y vale 0,5

    X=10    y vale 0.1
    X=100    y vale 0.01
    X=1000    y vale 0.001

Podemos concluir que cuando x cresca y va a valer cada vez menos ,es decir va a tender a cero . Pero si X cada vez vale menos , ¿cuanto vale Y? Con un razonamiento analogo , dando valores cada vez mas chicos a X ,(o dandonos cuenta que , se invierten las tablas echas) , Y crece inversamente con X,en el limite para X tendiendo a cero de f(x)es infinito .

Regla de L`Hopital . El limite de un cociente , es el cociente de los limites ,(lo mismo con las derivadas) .

Reglas de derivación

Regla de derivación general:

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

Derivada de una suma:

${\frac {d}{dx}}(x^{a}+x^{b})={\frac {d}{dx}}{x^{a}}+{\frac {d}{dx}}{x^{b}}=ax^{a-1}+bx^{b-1}$

Derivada de un producto:

${\frac {d}{dx}}(uv)=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

Derivada de un cociente:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

Derivada de una constante

${\frac {d}{dx}}(a)=0$

Regla de la cadena:

${\frac {d}{dx}}f(u(x))={\frac {df}{du}}{\frac {du}{dx}}$

Resultados previos utilizados

Linealidad

${\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}$

Regla de Leibniz

${\frac {d(f(x)\cdot g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}g(x)+f(x){\frac {dg(x)}{dx}}$

Regla de la cadena

${\frac {df(g(x))}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}$

Polinomios

Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.

Sea $\ f(x)=x^{n}$ Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a $h^{2}$.

${\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+hnx^{n-1}+h^{2}(...)-x^{n}}{h}}$

Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.

${\frac {dx^{n}}{dx}}=\lim _{h\to 0}(nx^{n-1}+h(...))=nx^{n-1}$

Exponencial

Una de las posibles definiciones de $e^{x}$ es:

$e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:

${\frac {de^{x}}{dx}}={\frac {d1}{dx}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d}{dx}}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {kx^{k-1}}{k(k-1)!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

Obteniendo por tanto:

${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}$

Exponencial en base arbitraria

Sea $\ f(x)=a^{x}$. Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que $\ln(e^{f(x)})=f(x)=e^{x\ln(a)}$, de modo que derivando obtenemos:

${\frac {d(a^{x})}{dx}}=\ln(a)e^{x\ln(a)}=\ln(a)a^{x}$

Logaritmo natural

Por definición de logaritmo natural tenemos que:

$\ln(e^{t})=t$

Efectuamos el cambio de variable $x=e^{t}$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:

${\frac {d\ln(x)}{dt}}={\frac {d\ln(x)}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Dado que $x=e^{t}$

${\frac {dx}{dt}}={\frac {de^{t}}{dt}}=e^{t}=x$

Sustituyendo en la penúltima expresión:

${\frac {d\ln(x)}{dx}}={\frac {1}{x}}$

Funciones trigonométricas

Límites empleados

• El primer límite que emplearemos es:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0$

Demostración Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:

$\ 0\leq \sin(x)\leq x\leq \tan(x)$

Elevando al cuadrado y dividiendo por x:

$0\leq {\frac {\sin ^{2}(x)}{x}}={\frac {1-\cos ^{2}(x)}{x}}={\frac {(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x}}\leq x$

De modo que tenemos:

$0\leq \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}\leq \lim _{x\to 0}{\frac {x}{1+\cos(x)}}=0$

El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0$

• El segundo límite es:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

Demostración Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:

$\sin(x)\leq x\leq \tan(x)$

Dividiendo por sin(x) tenemos:

$\ 1\leq {\frac {x}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{\cos(x)}}$

Aplicando límite a los tres términos:

$\lim _{x\to 0}1=1\leq \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin(x)}}\leq \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos(x)}}=1$

Obteniendo:

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin(x)}}=1$

Seno

Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}}$

Separando en dos límites

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\sin(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}+\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}$

El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)$

Coseno

El procedimiento será análogo al anterior.

Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:

${\frac {d\cos(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}}$

Separando en dos límites

${\frac {d\cos(x)}{dx}}=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}$

El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

${\frac {d\cos(x)}{dx}}=-\sin(x)$

Tangente

La tangente viene definida como:

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).

${\frac {d(\tan(x))}{dx}}={\frac {\cos(x)}{\cos(x)}}+\sin(x){\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$

Funciones trigonométricas inversas

Arcoseno

Por definición de arcoseno:

$\arcsin(\sin(t))=t$

Efectuando el cambio de variable $x=sin(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

${\frac {d(\arcsin(x))}{dt}}={\frac {d(\arcsin(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Teniendo en cuenta que:

${\frac {dx}{dt}}=\cos(t)={\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$

Sustituyendo

$={\frac {d(\arcsin(x))}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Arcocoseno

Por definición de arcocoseno:

$\arccos(\cos(t))=t$

De nuevo efecttuando el cambio de variable $x=cos(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

${\frac {d(\arccos(x))}{dt}}={\frac {d(\arccos(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):

${\frac {dx}{dt}}=-\sin(t)=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}=-{\sqrt {1-x^{2}}}$

Sustituyendo

${\frac {d(\arccos(x))}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Arcotangente

Por definición de arcotangente:

$\arctan(\tan(t))=t$

Efectuando el cambio de variable $x=tan(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

${\frac {d(\arctan(x))}{dt}}={\frac {d(\arctan(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Teniendo en cuenta que:

${\frac {dx}{dt}}=1+\tan ^{2}(t)=1+x^{2}$

Sustituyendo

${\frac {d(\arctan(x))}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$