Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas

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Reglas de derivación[editar]

Regla de derivación general:

Derivada de una suma:

Derivada de un producto:

Derivada de un cociente:

Derivada de una constante

Regla de la cadena:

Resultados previos utilizados[editar]

Linealidad

Regla de Leibniz

Regla de la cadena

Polinomios[editar]

Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.

Sea Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a .

Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.

Exponencial[editar]

Una de las posibles definiciones de es:

Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:

Obteniendo por tanto:

Exponencial en base arbitraria[editar]

Sea . Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que , de modo que derivando obtenemos:

Logaritmo natural[editar]

Por definición de logaritmo natural tenemos que:

Efectuamos el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:

Dado que

Sustituyendo en la penúltima expresión:

Funciones trigonométricas[editar]

Límites empleados[editar]

  • El primer límite que emplearemos es:

Demostración Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:

Elevando al cuadrado y dividiendo por x:

De modo que tenemos:

El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:

  • El segundo límite es:

Demostración Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:

Dividiendo por sin(x) tenemos:

Aplicando límite a los tres términos:

Obteniendo:

Seno[editar]

Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:

Separando en dos límites

El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

Coseno[editar]

El procedimiento será análogo al anterior.

Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:

Separando en dos límites

El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

Tangente[editar]

La tangente viene definida como:

Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).

Funciones trigonométricas inversas[editar]

Arcoseno[editar]

Por definición de arcoseno:

Efectuando el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

Teniendo en cuenta que:

Sustituyendo

Arcocoseno[editar]

Por definición de arcocoseno:

De nuevo efecttuando el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):

Sustituyendo

Arcotangente[editar]

Por definición de arcotangente:

Efectuando el cambio de variable , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

Teniendo en cuenta que:

Sustituyendo