Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas

Reglas de derivación

Regla de derivación general:

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

Derivada de una suma:

${\frac {d}{dx}}(x^{a}+x^{b})={\frac {d}{dx}}{x^{a}}+{\frac {d}{dx}}{x^{b}}=ax^{a-1}+bx^{b-1}$

Derivada de un producto:

${\frac {d}{dx}}(uv)=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

Derivada de un cociente:

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

Derivada de una constante

${\frac {d}{dx}}(a)=0$

Regla de la cadena:

${\frac {d}{dx}}f(u(x))={\frac {df}{du}}{\frac {du}{dx}}$

Resultados previos utilizados

Linealidad

${\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}$

Regla de Leibniz

${\frac {d(f(x)\cdot g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}g(x)+f(x){\frac {dg(x)}{dx}}$

Regla de la cadena

${\frac {df(g(x))}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}$

Polinomios

Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.

Sea $\ f(x)=x^{n}$ Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a $h^{2}$.

${\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+hnx^{n-1}+h^{2}(...)-x^{n}}{h}}$

Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.

${\frac {dx^{n}}{dx}}=\lim _{h\to 0}(nx^{n-1}+h(...))=nx^{n-1}$

Exponencial

Una de las posibles definiciones de $e^{x}$ es:

$e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:

${\frac {de^{x}}{dx}}={\frac {d1}{dx}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d}{dx}}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {kx^{k-1}}{k(k-1)!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

Obteniendo por tanto:

${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}$

Exponencial en base arbitraria

Sea $\ f(x)=a^{x}$. Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que $\ln(e^{f(x)})=f(x)=e^{x\ln(a)}$, de modo que derivando obtenemos:

${\frac {d(a^{x})}{dx}}=\ln(a)e^{x\ln(a)}=\ln(a)a^{x}$

Logaritmo natural

Por definición de logaritmo natural tenemos que:

$\ln(e^{t})=t$

Efectuamos el cambio de variable $x=e^{t}$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:

${\frac {d\ln(x)}{dt}}={\frac {d\ln(x)}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Dado que $x=e^{t}$

${\frac {dx}{dt}}={\frac {de^{t}}{dt}}=e^{t}=x$

Sustituyendo en la penúltima expresión:

${\frac {d\ln(x)}{dx}}={\frac {1}{x}}$

Funciones trigonométricas

Límites empleados

• El primer límite que emplearemos es:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0$

Demostración Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:

$\ 0\leq \sin(x)\leq x\leq \tan(x)$

Elevando al cuadrado y dividiendo por x:

$0\leq {\frac {\sin ^{2}(x)}{x}}={\frac {1-\cos ^{2}(x)}{x}}={\frac {(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x}}\leq x$

De modo que tenemos:

$0\leq \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}\leq \lim _{x\to 0}{\frac {x}{1+\cos(x)}}=0$

El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0$

• El segundo límite es:

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$

Demostración Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:

$\sin(x)\leq x\leq \tan(x)$

Dividiendo por sin(x) tenemos:

$\ 1\leq {\frac {x}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{\cos(x)}}$

Aplicando límite a los tres términos:

$\lim _{x\to 0}1=1\leq \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin(x)}}\leq \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos(x)}}=1$

Obteniendo:

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin(x)}}=1$

Seno

Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}}$

Separando en dos límites

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\sin(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}+\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}$

El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

${\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)$

Coseno

El procedimiento será análogo al anterior.

Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:

${\frac {d\cos(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}}$

Separando en dos límites

${\frac {d\cos(x)}{dx}}=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}$

El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

${\frac {d\cos(x)}{dx}}=-\sin(x)$

Tangente

La tangente viene definida como:

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).

${\frac {d(\tan(x))}{dx}}={\frac {\cos(x)}{\cos(x)}}+\sin(x){\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$

Funciones trigonométricas inversas

Arcoseno

Por definición de arcoseno:

$\arcsin(\sin(t))=t$

Efectuando el cambio de variable $x=sin(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

${\frac {d(\arcsin(x))}{dt}}={\frac {d(\arcsin(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Teniendo en cuenta que:

${\frac {dx}{dt}}=\cos(t)={\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}={\sqrt {1-x^{2}}}$

Sustituyendo

$={\frac {d(\arcsin(x))}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Arcocoseno

Por definición de arcocoseno:

$\arccos(\cos(t))=t$

De nuevo efecttuando el cambio de variable $x=cos(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

${\frac {d(\arccos(x))}{dt}}={\frac {d(\arccos(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):

${\frac {dx}{dt}}=-\sin(t)=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}=-{\sqrt {1-x^{2}}}$

Sustituyendo

${\frac {d(\arccos(x))}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Arcotangente

Por definición de arcotangente:

$\arctan(\tan(t))=t$

Efectuando el cambio de variable $x=tan(t)$, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

${\frac {d(\arctan(x))}{dt}}={\frac {d(\arctan(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1$

Teniendo en cuenta que:

${\frac {dx}{dt}}=1+\tan ^{2}(t)=1+x^{2}$

Sustituyendo

${\frac {d(\arctan(x))}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$