Regla de derivación general:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9abc471c35f8dcafe29fc663bcd0a7b416b14283)
Derivada de una suma:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{a}+x^{b})={\frac {d}{dx}}{x^{a}}+{\frac {d}{dx}}{x^{b}}=ax^{a-1}+bx^{b-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71047733663eca36911b6d0c30e00a854b5c216f)
Derivada de un producto:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c012c93f79c256d199d0db8ad65a34cafdd6ceff)
Derivada de un cociente:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e08394cbe70712e4fa544b30d5a227b69f2b0de)
Derivada de una constante
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fc3bfb56d07a4a8fa4ae0da8ae1e07df66eae1)
Regla de la cadena:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(u(x))={\frac {df}{du}}{\frac {du}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68da8c251714efbbe5e17e3d3478d884bd0f47d)
Resultados previos utilizados
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Linealidad
![{\displaystyle {\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c145858239d15863ce856b8972d99a09b32bd6c)
Regla de Leibniz
![{\displaystyle {\frac {d(f(x)\cdot g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}g(x)+f(x){\frac {dg(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559d46ce3ddc7f3d0f985ac8dfcafc9e0e67c691)
Regla de la cadena
![{\displaystyle {\frac {df(g(x))}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3717da107c55709f6e554c8d294338c659d003b8)
Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.
Sea
Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a
.
![{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{n}+hnx^{n-1}+h^{2}(...)-x^{n}}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2971e8b8be5e8ce7b94a6f25234393a95995d73)
Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.
![{\displaystyle {\frac {dx^{n}}{dx}}=\lim _{h\to 0}(nx^{n-1}+h(...))=nx^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12a03555e999156b1d24b601442f71b9d3ac180)
Una de las posibles definiciones de
es:
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68d9f0b6547c4a776d6b3f2c035d4948987ff5e)
Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:
![{\displaystyle {\frac {de^{x}}{dx}}={\frac {d1}{dx}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d}{dx}}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {kx^{k-1}}{k(k-1)!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ffd6873568a6123f4843db111f608ae0c5ef83)
Obteniendo por tanto:
![{\displaystyle {\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e2641af500a41936ed23230f65bd0bbdb36d33)
Exponencial en base arbitraria
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Sea
. Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que
, de modo que derivando obtenemos:
![{\displaystyle {\frac {d(a^{x})}{dx}}=\ln(a)e^{x\ln(a)}=\ln(a)a^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e31a5b6edb783af6d50d3ab5115b8967f9bd667)
Por definición de logaritmo natural tenemos que:
![{\displaystyle \ln(e^{t})=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813e14dfdaa6e1c7c19d68e939ffd42cb285a4d8)
Efectuamos el cambio de variable
, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:
![{\displaystyle {\frac {d\ln(x)}{dt}}={\frac {d\ln(x)}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2233c5b8b413db70f222b726f98bd7868fcfd887)
Dado que
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {de^{t}}{dt}}=e^{t}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f04bf7da185b690924a8d09c5b9989d76929db3)
Sustituyendo en la penúltima expresión:
![{\displaystyle {\frac {d\ln(x)}{dx}}={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4986b46e836826ea236e6489512e2dee873b1517)
Funciones trigonométricas
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- El primer límite que emplearemos es:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79134eb54f7628d164cbf8fe3ad83de2826c182)
Demostración
Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:
![{\displaystyle \ 0\leq \sin(x)\leq x\leq \tan(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3978d3823b386e33a5a184a69172f9e0896b25e)
Elevando al cuadrado y dividiendo por x:
![{\displaystyle 0\leq {\frac {\sin ^{2}(x)}{x}}={\frac {1-\cos ^{2}(x)}{x}}={\frac {(1-\cos(x))(1+\cos(x)}{x}}\leq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc085780b101ab1aa3bc4f8ff9b40052611001f9)
De modo que tenemos:
![{\displaystyle 0\leq \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}\leq \lim _{x\to 0}{\frac {x}{1+\cos(x)}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279fd8d4a50ce1aeea7bf835bc6e3f71d6f5ed62)
El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79134eb54f7628d164cbf8fe3ad83de2826c182)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4452ee566aebc88c26bd7add054e9988ba4685)
Demostración
Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:
![{\displaystyle \sin(x)\leq x\leq \tan(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed49a39a3ca82ef385a8f50b128d12cef3867889)
Dividiendo por sin(x) tenemos:
![{\displaystyle \ 1\leq {\frac {x}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{\cos(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335427aec04286a643bd4ecd53b0dc1067ff636f)
Aplicando límite a los tres términos:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}1=1\leq \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin(x)}}\leq \lim _{x\to 0}{\frac {1}{\cos(x)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ce212736e2b206fb37cf3b82986208471bfc48)
Obteniendo:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin(x)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf4cd510189374c29c47e8d1aaafe7f82f54421)
Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:
![{\displaystyle {\frac {d\sin(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b1a54f0fa06fe5853cf6fb16b90ecaf9abb47d)
Separando en dos límites
![{\displaystyle {\frac {d\sin(x)}{dx}}=\sin(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}+\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c15500b5cd8a691e984d668582e62fab1ddfd0)
El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
![{\displaystyle {\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c83e05195157831af4f5cd74096544e789fda7)
El procedimiento será análogo al anterior.
Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:
![{\displaystyle {\frac {d\cos(x)}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585a994aa640422059cf6f04bd65a42fd8e5a7dc)
Separando en dos límites
![{\displaystyle {\frac {d\cos(x)}{dx}}=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}-\sin(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a199a52b9fcf08431a31ad4a207038a220a3e64)
El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:
![{\displaystyle {\frac {d\cos(x)}{dx}}=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06266b930a9af1c4a0ad4cd6c0592d5890e0120)
La tangente viene definida como:
![{\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd62123c2c75b4c2434ffdc6e6ef39c9dcae37de)
Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).
![{\displaystyle {\frac {d(\tan(x))}{dx}}={\frac {\cos(x)}{\cos(x)}}+\sin(x){\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3130c27b9133e636234cef1bd17d5a291616e62)
Funciones trigonométricas inversas
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Por definición de arcoseno:
![{\displaystyle \arcsin(\sin(t))=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34294cb969c776257939bc7ca7021f565dd5049d)
Efectuando el cambio de variable
, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
![{\displaystyle {\frac {d(\arcsin(x))}{dt}}={\frac {d(\arcsin(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed5e1ed30d7d77f245eb45a44166f96fdc3b425)
Teniendo en cuenta que:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\cos(t)={\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}={\sqrt {1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfac3d323974f8fe23312d762821419d544a6ad2)
Sustituyendo
![{\displaystyle ={\frac {d(\arcsin(x))}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f275743d4322410c2e50d99f31568ae840488f7)
Por definición de arcocoseno:
![{\displaystyle \arccos(\cos(t))=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa53c23e4005f1e2004bdca4cc18b7b73c22ea79)
De nuevo efecttuando el cambio de variable
, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
![{\displaystyle {\frac {d(\arccos(x))}{dt}}={\frac {d(\arccos(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0332ef92ccf7dd8e23ca93c3a8b6019de36a49)
Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-\sin(t)=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}=-{\sqrt {1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3469307eeca8efd1a9a8e478038f7b56665ead6e)
Sustituyendo
![{\displaystyle {\frac {d(\arccos(x))}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b726a563d160dd4e3143ebbfb68aa0950993c791)
Por definición de arcotangente:
![{\displaystyle \arctan(\tan(t))=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aab5eff0b50bb8efc86dcdf86edc29674ba07c5d)
Efectuando el cambio de variable
, derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:
![{\displaystyle {\frac {d(\arctan(x))}{dt}}={\frac {d(\arctan(x))}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b635804092baba572554a018b3ee25123c8315)
Teniendo en cuenta que:
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=1+\tan ^{2}(t)=1+x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6a388c906719d9bb8f9b95729643b1e4f68cb4)
Sustituyendo
![{\displaystyle {\frac {d(\arctan(x))}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7af127ff77e2f040680207673a44d41af289998)