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Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

Descripción Gráfica de una Elipse para su ecuación

Forma cartesiana centrada en el origen

Para sacar la ecuación de la elipse se procede a otro análisis de distancia de puntos, en este caso un análisis simétrico entre cualquier punto de la elipse y dos puntos simétricos que se ubican en el eje mayor longitud que será representada por 2a.

$PF'+PF=2a$

${\sqrt {(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}=2a$

Se procede a eliminar las radicales con los despejes siguientes:

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$({\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}})^{2}=(2a-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}})^{2}$

$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+(x+c)^{2}+y^{2}$

$x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2}$

$x^{2}-2cx+c^{2}+y^{2}-x^{2}+2cx-c^{2}-y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$-4cx=4a^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$-4cx-4a^{2}=-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$cx+a^{2}=a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

$(cx+a^{2})^{2}=(a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}})^{2}$

$(cx+a^{2})^{2}=(a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}})^{2}$

$c^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{4}=a^{2}(x^{2}+2cx+c^{2}+y^{2})$

$c^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{4}=a^{2}x^{2}+2a^{2}cx+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}$

$c^{2}x^{2}-a^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}c^{2}-a^{4}$

$x^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})$

Si se proyecta por Teorema de Pitágoras al relacionar el eje mayor con el menor con la distancia del foco.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$b^{2}=c^{2}-a^{2}$

$x^{2}b^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

Dividimos $a^{2}b^{2}$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen y su eje mayor es y, es:

${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento FF'. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la Excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en un punto distinto a cero (h,k), la ecuación es:

${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

Si el eje mayor corresponde a y:

${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1$

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en $(h,k)$ y siendo $a$ el semieje mayor y $b$ el menor, es:

${\begin{cases}x=h+a\cos \alpha \\y=k+b\sin \alpha \end{cases}}$

con $\alpha \in [0,2\pi )\ .\ \alpha$ no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre $\alpha$ y θ es

$\operatorname {tg} \theta ={b \over a}\ \operatorname {tg} \alpha$.

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en $(h,k)$ en la que el parámetro $\theta$ sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado $(h,k)$ es:

${\begin{cases}x=h+{\frac {1}{\sqrt {{\frac {\cos(\theta )^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sin(\theta )^{2}}{b^{2}}}}}}\cos \theta \\y=k+{\frac {1}{\sqrt {{\frac {\cos(\theta )^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\sin(\theta )^{2}}{b^{2}}}}}}\sin \theta \end{cases}}$

con $\theta \in [0,2\pi )$. El parámetro $\theta$ es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en $(h,k)$.

Curvatura de una elipse

$K={\frac {ab}{(a^{2}\operatorname {sen} ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}$

parametrizada por

$\beta (t)=(a\cos t,b\operatorname {sen} t)$

y su radio de curvatura es $R={\frac {1}{K}}$

Área de una región con frontera una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

${\acute {A}}rea=\pi \cdot a\cdot b$

Siendo a y b los semiejes.

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

$P\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,$