Matemáticas/Geometría Analítica/Ecuación de la Recta/Ángulo entre dos rectas

El ángulo formado entre la recta l1 (inicial) y l2 (final) es b el cual es medido en sentido antihorario y cuyo ángulo suplementario es b’. Por geometría elemental sabemos que:

$y=a+b$

$b=y-a$

Tomando la tangente de ambos miembros la expresión queda de la siguiente manera:

$\tan b=\tan(y-a)$

Aplicando la formula trigonométrica de adición y sustracción en el segundo miembro de la ecuación:

$\tan b={\frac {\tan y-\tan a}{1-\tan y\tan a}}$

Recordando el concepto de pendiente de una recta tenemos que la tangente del ángulo g es la pendiente de la recta l2 y la tangente del ángulo a es la pendiente de la recta l1, que reemplazados en la expresión anterior resulta:

$\tan b={\frac {m_{2}-m_{1}}{1-m_{1}m_{2}}}$

El ángulo b’ no es mas que el complemento de b por la que la primera expresión se puede expresar de la siguiente manera:

$y=a+180-b'$

$b'=a+(180-y)$

Aplicando en esta última expresión la misma metodología se obtiene:

$\tan b'={\frac {m_{1}-m_{2}}{1-m_{2}m_{1}}}$

Estas dos expresiones determinan el ángulo entre las dos rectas y la única diferencia es simplemente el signo.

Nota:

Para usar correctamente las expresiones y determinar el ángulo buscado debe seguirse el orden asignado de recta inicial y recta final.

Se podrá notar que si el producto de las pendientes de las 2 rectas resulta en un valor igual a uno negativo (-1) no existe un valor para el ángulo, lo que significa que ambas rectas son perpendiculares entre si.

El otro caso especial es que ambas pendientes sean iguales, lo que significa que ambas rectas son paralelas entre si.

Fuente

Adaptado de https://ejerciciosgeometrianalitica.wordpress.com/2010/12/02/geometria-analitica-angulo-de-2-rectas/