Matemáticas/Combinatoria/Triángulo de Pascal

En Matemáticas, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)ⁿ en una suma que implica términos de la forma ax^by^c, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

El coeficiente a en los términos de x^by^c - x^cy^b es conocido como el coeficiente binomial ${\tbinom {n}{b}}$ o ${\tbinom {n}{c}}$ (los dos tienen el mismo valor).

Formulación del teorema

Este teorema establece:

Usando la fórmula para calcular el valor de ${\tbinom {n}{k}}$ (que también es representado ocasionalmente como $C(n,k)\,$ o $C_{k}^{n}$) se obtiene la siguiente representación:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{n-k}y^{k}$

El coeficiente de $x^{n-k}y^{k}\,$ en el desarrollo de $(x+y)^{n}\,$ es ${n \choose k}$

donde ${\tbinom {n}{k}}$ recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^{n}$

Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal:

${\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}$

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos con potencias impares de y. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,$

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3) ${(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}$

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

${r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-k+1)}{k!}}$

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

${\frac {1}{(1-x)^{r}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{r+k-1 \choose k}x^{k}$

La suma en (3)

converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor que uno.

Coeficiente binomial

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como ${\tbinom {\alpha }{k}}$ de forma sencilla:

${\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.$

Generalizaciones

Ejemplo combinacional de coeficiente trinomial.

En vez de considerar las potencias de a + b, se puede considerar las del trinomio a + b + c. De esta manera, (a + b + c)ⁿ es una suma de monomios de la forma λ_{p, q, r} ·a^p·b^q·c^r, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λ_{p, q, r} un número natural que se llama coeficiente trinomial. Los cálculos son similares a los del coeficiente binomial, y se dan mediante la siguiente expresión:

$\lambda _{p,q,r}={n \choose p,q,r}={\frac {n!}{p!q!r!}}$,

en subconjuntos de p, q y r elementos.

Pirámide de Pascal. Se han dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre.

Estos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal. De hecho, a la distribución de estos coeficientes al estilo piramidal se le conoce como pirámide de Pascal; es también infinita, con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.

En esta pirámide se observa una invariante por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice. El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.

De igual manera, todo esto se puede generalizar a dimensiones finitas cualesquiera, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos sencillos.