Matemáticas/Cálculo en una variable/Conjunto Acotado

Conjunto acotado superiormente

Definición: Sea $S$ un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto $S$ está acotado superiormente si existe algún $k \in ℝ$ cumpliendo $k \geq x, \forall x \in S$ . A este valor $k$ lo llamamos Cota superior de S.

Proposición: Si un conjunto $S \subset ℝ$ tiene una cota superior, esta no es única.

Prueba: Procedamos por reducción al absurdo:

Sea $k$ una cota superior de $S$ , supongamos que $k$ es único. Por ser $k$ cota superior, se cumple $k \geq x, \forall x \in S$ . Consideremos ahora el conjunto $S_{0} = S \cup {k}$ . Puesto que $k$ es la única cota superior de $S$ , $k$ es el mayor de todos los elementos de $S_{0}$ , y no existe ningún $k_{0} \in ℝ$ siendo cota superior de $S_{0}$ , pues de existir, lo sería también de $S$ y hemos supuesto que sólo había una cota superior para $S$ . Luego no existe $k_{0} \in ℝ$ cumpliendo $k_{0} \geq k$ ya que de existir, sería cota superior de $S_{0}$ y hemos dicho que $S_{0}$ no está acotado superiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más grande. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota superior de un conjunto no es única.

Corolario: Dados sendos conjuntos $S \subset ℝ$ acotado superiormente y $T \subset ℝ$ finito, los conjuntos $S \cup T$ y $S \cap T$ son también acotados superiormente.

Prueba: Para ver que $S \cup T$ es acotado superiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos $S_{n}$ del modo siguiente: $S_{n + 1} = S_{n} \cup {y_{n}}$ con $y_{n} \in T$ , $n \in ℕ$ . Los conjuntos sucesivos $S_{n}$ son acotados superiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como $T$ es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto $S \cup T$ que resulta acotado superiormente por la misma.

En el caso del conjunto $S \cap T$ , distinguimos dos subcasos:

Si existen $k_{1}, k_{2} \in S$ siendo $k_{1}$ cota inferior de $T$ y $k_{2}$ cota superior, entonces la demostración es trivial.
Si hay algún $x \in T$ que es o bien cota superior o bien cota inferior de $S$ , reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta $S \cap T$ acotado superiormente.

Proposición: Todo subconjunto $T$ de un conjunto $S$ acotado superiormente, es acotado superiormente.

Prueba: Si $k \in ℝ$ es cota superior de $S$ , se cumple $k \geq x, \forall x \in S$ . Por ser $T \subset S$ , todo elemento $y \in T$ lo es también de $S$ ; y por lo tanto, $k \geq y, \forall y \in T$ , luego $T$ es acotado superiormente.

Conjunto acotado inferiormente

Definición: Sea $S$ un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto $S$ está acotado inferiormente si existe algún $k \in ℝ$ cumpliendo $k \leq x, \forall x \in S$ . A este valor $k$ lo llamamos Cota inferior de S.

Proposición: Si un conjunto $S \subset ℝ$ tiene una cota inferior, esta no es única.

Prueba: Por un procedimiento análogo al usado para cotas superiores, se tiene lo siguiente:

Sea $k$ una cota inferior de $S$ , supongamos que $k$ es único. Por ser $k$ cota inferior, se cumple $k \leq x, \forall x \in S$ . Consideremos ahora el conjunto $S_{0} = S \cup {k}$ . Puesto que $k$ es la única cota inferior de $S$ , $k$ es el menor de todos los elementos de $S_{0}$ , y no existe ningún $k_{0} \in ℝ$ siendo cota inferior de $S_{0}$ , pues de existir, lo sería también de $S$ y hemos supuesto que sólo había una cota inferior para $S$ . Luego no existe $k_{0} \in ℝ$ cumpliendo $k_{0} \leq k$ ya que de existir, sería cota inferior de $S_{0}$ y hemos dicho que $S_{0}$ no está acotado inferiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más pequeño. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota inferior de un conjunto no es única.

Corolario: Dados sendos conjuntos $S \subset ℝ$ acotado inferiormente y $T \subset ℝ$ finito, los conjuntos $S \cup T$ y $S \cap T$ son también acotados inferiormente.

Prueba: Para ver que $S \cup T$ es acotado inferiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos $S_{n}$ del modo siguiente: $S_{n + 1} = S_{n} \cup {y_{n}}$ con $y_{n} \in T$ , $n \in ℕ$ . Los conjuntos sucesivos $S_{n}$ son acotados inferiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como $T$ es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto $S \cup T$ que resulta acotado inferiormente por la misma.

En el caso del conjunto $S \cap T$ , distinguimos dos subcasos:

Si existen $k_{1}, k_{2} \in S$ siendo $k_{1}$ cota inferior de $T$ y $k_{2}$ cota superior, entonces la demostración es trivial.
Si hay algún $x \in T$ que es o bien cota superior o bien cota inferior de $S$ , reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta $S \cap T$ acotado inferiormente.

Proposición: Todo subconjunto $T$ de un conjunto $S$ acotado inferiormente, es acotado inferiormente.

Prueba: Si $k \in ℝ$ es cota inferior de $S$ , se cumple $k \leq x, \forall x \in S$ . Por ser $T \subset S$ , todo elemento $y \in T$ lo es también de $S$ ; y por lo tanto, $k \leq y, \forall y \in T$ , luego $T$ es acotado inferiormente.

Conjunto acotado

Definición: Sea $S$ una conjunto de números reales. Decimos que el conjunto $S$ está acotado si está acotado superior e inferiormente.

Teorema: Todo conjunto $C \subset ℝ$ finito es acotado.

Prueba: Consideramos el conjunto $C$ de la siguiente manera: $C = ⋃_{k = 1}^{n} {x_{k}}$ con $n \in ℕ$ por ser $C$ finito. Procedemos ahora por inducción sobre $n$ para comprobar que todos los conjuntos $C \subset ℝ$ escritos de esta manera -es decir, finitos- son acotados:

Para $n = 1$ se tiene $C = ⋃_{k = 1}^{1} {x_{k}} = {x_{1}}$ que es trivialmente acotado.
Supongamos cierto el paso $n$ y probemos el caso $n + 1$ :

Ahora tenemos que el conjunto C es el siguiente: $C = ⋃_{k = 1}^{n + 1} {x_{k}} = ⋃_{k = 1}^{n} {x_{k}} \cup {x_{n + 1}}$ . Por hipótesis de inducción $⋃_{k = 1}^{n} {x_{k}}$ es acotado, luego es acotado superior e inferiormente. Si ahora unimos con un conjunto que tiene un solo elemento estamos repitiendo la construcción empleada en las demostraciones anteriores, luego este nuevo conjunto es acotado superior e inferiormente y, por tanto, es acotado. Y vemos que todo conjunto finito es acotado.

Proposición: Todo subconjunto de un conjunto acotado, es acotado.

Prueba: Si un conjunto es acotado, es acotado superior e inferiormente. Luego está contenido a la vez en un conjunto acotado superiormente y en un conjunto acotado inferiormente. Si tomamos la intersección de estos dos conjuntos, obtenemos un conjunto acotado que contiene al conjunto inicial.

Ejemplos

El conjunto ${1, 2, 3, 4, ...}$ está acotado inferiormente por 0.

El conjunto ${- 1, - 2, - 3, - 4, ...}$ está acotado superiormente por 0.

El conjunto ${1, 2, 3, 4}$ está acotado.

El conjunto ${1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...}$ está acotado (siendo 1 una cota superior y 0 una cota inferior) pero no es finito, lo cual indica que el recíproco del Teorema anterior no es cierto.