Matemática Discreta/Combinatoria

La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de matemáticas discretas que estudia la enumeración, construcción y existencia de propiedades de configuraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas. Además, estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos.

Combinaciones sin repetición

Dado un conjunto de n elementos distinguibles, se llama combinación sin repetición de p elementos, con p < n, elegidos entre los n, a cualquier subconjunto de p elementos distintos del conjunto.

El número de combinaciones sin repetición de p elementos elegidos entre los n se nota habitualmente

$C_{p}^{n}={\binom {n}{p}}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}$ .

Ejemplo

Un estudiante debe responder a seis de las diez preguntas de las que consta un examen, ¿entre cuántos grupos de preguntas distintas puede elegir?

Se trata de determinar el número de grupos distintos de seis preguntas escogidas del conjunto de las diez, sabiendo que dos grupos con las mismas preguntas, aún en distinto orden, coinciden. En este caso, el número de grupos de preguntas distintos entre los que se puede elegir es

$C_{6}^{10}={\binom {10}{6}}={\frac {10!}{6!4!}}=210$

Combinaciones con repetición

Dado un conjunto de n elementos distinguibles, se llama combinación con repetición de p elementos escogidos entre los n a cualquier colección de p elementos del conjunto, con repeticiones eventuales de algunos de ellos.

El número de combinaciones con repetición de p elementos elegidos entre los n se nota habitualmente

$CR_{n}^{p}=C_{n+p-1}^{p}={\binom {n+p-1}{p}}={\frac {(n+p-1)!}{p!(n-1)!}}$

Ejemplo

¿De cuántas formas pueden elegirse simultáneamente tres bolas de una urna en la que hay al menos tres bolas blancas y tres negras indistinguibles?

Cada grupo es una disposicion no ordenada de tres colores formada por los colores blanco y negro con repeticion de alguno de ellos. Por tanto, se trata de determinar el número de grupos de tres elementos no ordenados. En este caso, el número de formas distintas de elegir simultáneamente tres bolas del conjunto es

$CR_{2}^{3}={\binom {4}{3}}={\frac {4!}{3!1!}}=4$

Fuente

Resumen adaptado de Wikipedia