# Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Modelos Numéricos

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### Obtención del polinomio luego de usar diferencias divididas

Al final del método, obtenemos una ecuación de la forma

${\displaystyle r_{0}+\sum _{i=0}^{n}r_{i}(\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j}))}$

, es decir

${\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots }$

Para obtener una ecuación de la forma

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}C_{i}x^{i}}$

, es decir

${\displaystyle A+Bx+Cx^{2}+\cdots }$

a partir de la ecuación obtenida por diferencias divididas, hay que obtener la expresión de cada uno de los coeficientes.

#### Inducción de los coeficientes

##### Con 3 puntos

${\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})=}$

${\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}+}$

${\displaystyle +x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1}))+}$

${\displaystyle +x^{2}r_{2}}$

##### Con 4 puntos

${\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+r_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})=}$

${\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+}$

${\displaystyle +x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2}))+}$

${\displaystyle +x^{2}(r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2}))}$

${\displaystyle +x^{3}(r_{3})}$

##### Con 5 puntos

${\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+r_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})+r_{4}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=}$

${\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+r_{4}x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}+}$

${\displaystyle +x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})-r_{4}(x_{0}x_{1}x_{2}+x_{0}x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}))+}$

${\displaystyle +x^{2}(r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})+r_{4}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{0}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}))+}$

${\displaystyle +x^{3}(r_{3}-r_{4}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}))+}$

${\displaystyle +x^{4}(r_{4})}$

##### Conclusión
###### Coeficiente A
 Cantidad de puntos Expresión del coeficiente 3 ${\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}}$ 4 ${\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}}$ 5 ${\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+r_{4}x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}}$

Sea el coeficiente A para la ecuación obtenida a partir de p+1 puntos, la ley resulta:

${\displaystyle r_{0}+\sum _{i=1}^{p}((-1)^{i}r_{i}(\prod _{j=0}^{i-1}x_{j}))}$

###### Coeficiente B
 Cantidad de puntos Expresión del coeficiente 3 ${\displaystyle r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})}$ 4 ${\displaystyle r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})}$ 5 ${\displaystyle r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})-r_{4}(x_{0}x_{1}x_{2}+x_{0}x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3})}$
###### Coeficiente C
 Cantidad de puntos Expresión del coeficiente 3 ${\displaystyle r_{2}}$ 4 ${\displaystyle r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})}$ 5 ${\displaystyle r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})+r_{4}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{0}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}$
###### Coeficiente D
 Cantidad de puntos Expresión del coeficiente 3 ${\displaystyle 0}$ 4 ${\displaystyle r_{3}}$ 5 ${\displaystyle r_{3}-r_{4}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3})}$

Como se ve, la ley es mucho más difícil de expresar en términos matemáticos, por lo que dejo ese trabajo pendiente. De todas maneras voy a tratar de describirlo en términos tan claros como me resulte posible:

Se puede ver que:

• La cantidad de términos que describen a cada coeficiente depende de la cantidad de ${\displaystyle x_{i}}$ que se utilizan para obtener la expresión.
• El primer término de la expresión que calcula el coeficiente que corresponde a ${\displaystyle x^{n}}$ será ${\displaystyle r_{n}}$, y corresponde a la expresión obtenida utilizando n ${\displaystyle x_{i}}$ (es decir, cuando el polinomio es de grado n).
• Para calcular el mismo coeficiente para un polinomio del grado mayor siguiente, se restará y sumará alternativamente el siguiente término.
• El siguiente término será la multiplicación del siguiente r, por la sumatoria de los productos formados por una permutación de elementos del conjunto de ${\displaystyle x_{i}}$.

Para obtener la ley inductiva para conocer que permutaciones usar vemos:

 colspan="2" | Coeficiente B Coeficiente C Coeficiente D r Elementos Tomados de a Elementos Tomados de a Elementos Tomados de a 2 2 1 - - - - 3 3 2 3 1 - - 4 4 3 4 2 4 1

Como conclusión, se puede decir que al calcular cualquier coeficiente, el término que contiene ${\displaystyle r_{k}}$ irá multiplicado por la sumatoria de los productos formados por la permutación de los primeros ${\displaystyle k}$ elementos del conjunto de ${\displaystyle x_{i}}$, tomados de a m, siendo m el número de orden en que aparece el término dentro del cálculo del coeficiente.

Además, si el coeficiente corresponde a ${\displaystyle x^{n}}$, m será:

${\displaystyle m=k-n}$