Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Modelos Numéricos

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Obtención del polinomio luego de usar diferencias divididas[editar]

Al final del método, obtenemos una ecuación de la forma

, es decir

Para obtener una ecuación de la forma

, es decir

a partir de la ecuación obtenida por diferencias divididas, hay que obtener la expresión de cada uno de los coeficientes.

Inducción de los coeficientes[editar]

Con 3 puntos[editar]

Con 4 puntos[editar]

Con 5 puntos[editar]

Conclusión[editar]
Coeficiente A[editar]
Cantidad de puntos Expresión del coeficiente
3
4
5


Sea el coeficiente A para la ecuación obtenida a partir de p+1 puntos, la ley resulta:

Coeficiente B[editar]
Cantidad de puntos Expresión del coeficiente
3
4
5
Coeficiente C[editar]
Cantidad de puntos Expresión del coeficiente
3
4
5
Coeficiente D[editar]
Cantidad de puntos Expresión del coeficiente
3
4
5

Como se ve, la ley es mucho más difícil de expresar en términos matemáticos, por lo que dejo ese trabajo pendiente. De todas maneras voy a tratar de describirlo en términos tan claros como me resulte posible:

Se puede ver que:

  • La cantidad de términos que describen a cada coeficiente depende de la cantidad de que se utilizan para obtener la expresión.
  • El primer término de la expresión que calcula el coeficiente que corresponde a será , y corresponde a la expresión obtenida utilizando n (es decir, cuando el polinomio es de grado n).
  • Para calcular el mismo coeficiente para un polinomio del grado mayor siguiente, se restará y sumará alternativamente el siguiente término.
  • El siguiente término será la multiplicación del siguiente r, por la sumatoria de los productos formados por una permutación de elementos del conjunto de .

Para obtener la ley inductiva para conocer que permutaciones usar vemos:


colspan="2" | Coeficiente B Coeficiente C Coeficiente D
r Elementos Tomados de a Elementos Tomados de a Elementos Tomados de a
2 2 1 - - - -
3 3 2 3 1 - -
4 4 3 4 2 4 1

Como conclusión, se puede decir que al calcular cualquier coeficiente, el término que contiene irá multiplicado por la sumatoria de los productos formados por la permutación de los primeros elementos del conjunto de , tomados de a m, siendo m el número de orden en que aparece el término dentro del cálculo del coeficiente.

Además, si el coeficiente corresponde a , m será: