Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Investigación Operativa/Práctica/Solución Wolfe 4

• Primero pasamos a la forma que requiere el algoritmo:

Min $f(\underset{\_}{x})=(x_1-4{)}^2+(x_2+1{)}^2+0x_3+0x_4$

s.a:

$x_1+x_2+x_3=3$

$x_2+x_4=2$

$x_1,x_2,x_3,x_4\ge 0$

Queda la matriz $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ de la forma:

$\underset{\_}{\underset{\_}{A}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right]$

Además, $\mathrm{\nabla }f(\underset{\_}{x})=\left(\begin{array}{c}2(x_1-4)\\ 2(x_2+1)\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Despejando en las restricciones podemos obtener los valores de las variables dependientes:

$x_1+x_2+x_3=3$

$0+2+x_3=3$

$x_3=1$

$x_2+x_4=2$

$2+x_4=2$

$x_4=0$

De manera que el punto inicial para el problema así planteado queda:

${\underset{\_}{x}}^{(0)}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

Podemos entonces seccionar $\underset{\_}{\underset{\_}{A}}$ y ${\underset{\_}{x}}^{(0)}$ en básicos y no básicos, tomando como no básicos los componentes iguales a cero en el punto (los básicos deben corresponder a m columnas l.i. cuyos valores sean mayores que cero -se toman los más positivos):

${\underset{\_}{x}}_B^{(0)}=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$

${\underset{\_}{x}}_N^{(0)}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

$\underset{\_}{\underset{\_}{B}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$\underset{\_}{\underset{\_}{N}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Calculando la inversa:

$\underset{\_}{\underset{\_}{B^{-1}}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$

Se obtiene a continuación la componente básica y la no básica del gradiente:

${\mathrm{\nabla }}_{N}f({\underset{\_}{x}}^{(0)})=\left(\begin{array}{c}2(x_1-4)\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\end{array}\right)$

${\mathrm{\nabla }}_{B}f({\underset{\_}{x}}^{(0)})=\left(\begin{array}{c}2(x_2+1)\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right)$