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Grafo simple no dirigido, con 6 vértices y 7 aristas.
A continuación se detallan los principales conceptos de la teoría de grafos. Para las definiciones formales o más detalladas, puede dirigirse a algunos de los artículos disponibles en Wilkipedia. Todos los ejemplos están basados en la imagen de la derecha.
Un árbol' es un grafo conexo simpleacíclico. Algunas veces, un vértice del árbol es distinguido llamándolo raíz. Los árboles se usan frecuentemente como estructuras de datos en ciencias de la computación.
Una arista o arco es una relación matemática que conecta dos vértices. Una arista dirigida es una arista de un digrafo y tiene una dirección asociada consigo, esto es, posee un vértice inicial y un vértice final. Una arista no dirigida es una donde no se distingue un vértice inicial ni uno final.
Un bucle o lazo (loop en inglés) en un grafo o digrafo es una arista que conecta al mismo vértice consigo mismo. Un grafo simple no puede tener bucles.
Orden en que se recorre un grafo en una búsqueda en anchura.
La búsqueda en anchura o BFS (Breadth First Search) es un algoritmo que permite recorrer todos los vértices de un árbol de manera ordenada, recorriendo primero los vértices vecinos al inicial, luego los vértices vecinos a los recorridos en el paso anterior y así sucesivamente hasta agotar la gráfica.
Orden en que se recorre un grafo en una búsqueda en profundidad.
La búsqueda en profundidad o DFS (Depth First Search) es un algoritmo que permite recorrer todos los vértices de un árbol de manera ordenada, avanzando sobre cada rama hasta que no haya posibilidad de continuar y luego se retrocede hasta la última bifurcación para seguir por otra rama.
Puede usarse para recorrer un grafo cualquiera si se usa un árbol generador del grafo.
Un camino es una sucesión de vértices tal que de cada uno de sus vértices existe una arista hacia el vértice sucesor. Un camino simple es aquel que no repite vértices en su recorrido.
Dos caminos son ajenos o independientes si no tienen ningún vértice en común excepto el primero y el último.
La longitud de un camino es el número de aristas que usa dicho camino, contando aristas recorridas varias veces el mismo número de veces que las recorramos. En el ejemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) es un camino con longitud 5, y (5, 2, 1) es un camino simple de longitud 2.
Un camino euleriano recorre todas las aristas exactamente una vez (puede repetir vértices).
Un camino euleriano en un grafo es un camino que usa cada arista una y sólo una vez. Si existe tal camino decimos que el grafo es euleriano. Esta definición es dual a la de camino hamiltoniano.
Un camino hamiltoniano recorre todos los vértices exactamente una vez.
Una clique en un grafo es un conjunto de vértices tal que para todo par de vértices, existe una arista que los conecta. En el ejemplo, los vértices 1, 2 y 5 forman una clique de tamaño 3. En otras palabras, es un subgrafo completo .
La cobertura de vértices, covering o recubrimiento de vértices de un grafo es un conjunto de vértices cuyos elementos son adyacentes a todos los demás vértices del grafo.
La coloración de grafos es quizá el problema NP-completo más afamado de la teoría de grafos, y consiste en asignarle distintos colores o marcas a los vértices de un grafo, de manera que ningún par de vértices adyacentes compartan el mismo color o marca.
La contracción es una operación que elimina una arista del grafo al mismo tiempo que fusiona los dos vértices extremos. La contracción es una operación fundamental en la teoría de grafos.
Un componente fuertemente conexo es un grafo tal que para cada par de vértices, existe un camino de uno hacia el otro, y viceversa. Los componentes fuertemente conexos de un grafo dirigido son sus subgrafos máximos fuertemente conexos. Estos subgrafos forman una partición del grafo.
Un conjunto independiente en un grafo es un conjunto de vértices tal que ninguno es adyacente a otro. En el ejemplo, los vértices 1,3, y 6 forman un conjunto tal y los 3,5, y 6 forman otro conjunto independiente.
Se denomina distancia entre dos vértices de un grafo al número de vértices mínimo que debe recorrerse para unirlos. La distancia entre dos nodos de un grafo es la longitud del camino más corto
El grado o valencia de un vértice es el número de aristas incidentes en él. Para un grafo con bucles, estos son contados por dos. En el ejemplo, los vértices 1 y 3 tienen grado 2; los vértices 2, 4 y 5, grado 3; y el vértice 6, grado 1.
En un digrafo, podemos distinguir el grado saliente (el número de aristas que dejan el vértice) y el grado entrante (el número de aristas que entran en un vértice). El grado de un vértice sería la suma de ambos números.
Un grafo bipartito es cualquier grafo cuyos vértices pueden ser divididos en dos conjuntos, tal que no haya aristas entre los vértices del mismo conjunto. Se ve que un grafo es bipartito si no hay ciclos de longitud impar. Véase también grafo bipartito completo.
Un grafo k-partido o grafo k-colorable es un grafo con cuyos vértices se puede hacer una partición en k subconjuntos disjuntos tal que no haya aristas entre vértices del mismo subconjunto. Un grafo 2-partido es lo mismo que un grafo bipartito.
Un grafo k-partido se dice semiregular si cada partición tiene un grado uniforme.
Un grafo completo es un grafo simple en el que cada vértice es adyacente a cualquier otro vértice. El del ejemplo no es completo. El grafo completo en n vértices se denota a menudo por Kn. Tiene n(n-1)/2 aristas (correspondiendo a todas las posibles elecciones de pares de vértices).
Si es posible formar un camino desde cualquier vértice a cualquier otro en el grafo, decimos que el grafo es conexo. Si es posible hacer esto incluso tras quitar k-1 vértices, decimos que el grafo es k-conexo.
Un grafo es k-conexo si y sólo si contiene k caminos independientes entre cualesquiera dos vértices. Teorema de Menger El grafo ejemplo es conexo (y por tanto 1-conexo), pero no es 2-conexo.
Un grafo denso es un grafo en el que el número de aristas está cercano al número de máximo de aristas. Lo opuesto, un grafo con solo algunas aristas, es un grafo disperso.
Es un conjunto de vértices V y un conjunto de aristas E tal que para cada arista perteneciente al conjunto de aristas E se asocia con dos vértices en forma ordenada.
Un grafo plano es uno que es posible dibujar en el plano sin que ningún par de aristas se interseque. El del ejemplo lo es; el grafo completo de n vértices, para n > 4, no es plano.
Un grafo ponderado asocia un valor o peso a cada arista en el grafo. El peso de un camino en un grafo con pesos es la suma de los pesos de todas las aristas atravesadas.
Un hipergrafo es una generalización de un grafo, cuyas aristas aquí se llaman hiperaristas, y pueden relacionar a cualquier cantidad de vértices, en lugar de sólo un máximo de dos como en el caso particular.
Un Isomorfismo de grafos entre dos grafosG y H es una biyección f entre los conjuntos de sus vértices que preserva la relación de adyacencia. Es decir, cualquier par de vértices u y v de G son adyacentes si y solo si lo son sus imágenes, f(u) y f(v), en H.
Una matriz de adyacencia es una matriz de n x n que permite representar un grafo o digrafo finito, donde cada valor en la posición (i, j) representa el número de aristas desde el vértice i-ésimo al j-ésimo.
Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyo conjunto de vértices es un subconjunto del de G, cuyo conjunto de aristas es un subconjunto del conjunto de las aristas de G, y tal que la aplicación w es la restricción de la aplicación de G.
Un subgrafo de expansión de un grafo G es un subgrafo con el mismo conjunto de vértices que G. Un árbol expansión es un subgrafo expansión que es un árbol. Cada grafo tiene un árbol de expansión.
Dos vértices son vecinos, adyacentes o incidentes si existe una arista entre ellos. En el ejemplo, el vértice 1 tiene dos vecinos: el vértice 2 y el 5. Para un grafo simple, el número de vecinos de un vértice es igual a su grado.
