Geometría Analítica con Matlab/Cónicas Rotadas

Cónicas Rotadas

En esta sección se propone revisar en el plano, la rotación que sucede sobre una cónica, a través de los vectores propios asociados a la matriz de los coeficientes.

Se considera entonces una ecuación de la forma

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$,

(3.1a)

bajo la condición

$a>0,$ y $b\neq 0$.

(3.1b)

Los vectores propios por analizar están asociados a la matríz de los coeficientes

$M=\left[{\begin{array}{cc}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{array}}\right]$

(3.2a)

la cual es simétrica; en consecuencia sus valores propios son reales y los respectivos vectores propios son ortogonales. Su determinante

$detM={\frac {1}{4}}(4ac-b^{2})$,

(3.2b)

y al número $b^{2}-4ac$ se le denomina discriminante de la matriz M.

Valores y Vectores Propios

Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cual es

$4\lambda ^{2}-4(a-c)\lambda -(b^{2}-4ac)=0$,

(3.3)

y de esta surge la relación

$4(\lambda -a)^{2}=4(c-a)\lambda +4a^{2}+b^{2}-4ac$.

(3.4)

Sus raíces dan los dos valores propios (reales puesto que M es simétrica):

$\lambda _{1,2}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$,

o bien, en términos de la traza y el determinante

$\lambda _{1,2}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)\pm {\sqrt {tr^{2}M-4detM}}\right]$.

De esta expresión junto con la condición (3.1b)

se concluye:

NOTA 1 los valores propios $\lambda _{1},\;\;\lambda _{2}$ jamás son iguales porque $b^{2}>0$.

Sea $\lambda _{1}$ el menor valor propio; este es

$\lambda _{1}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)-{\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$.

(3.5a)

del cual resulta

$2(\lambda _{2}-a)=-\left[(a-c)+{\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$.

(3.5b)

Ahora, teniendo en cuenta que $b\neq 0$, para todo real N

$N^{2}<N^{2}+b^{2}$,

de lo cual:

NOTA 2 $(a-c)+{\sqrt {(a+c)^{2}+b^{2}}}>0$, con lo cual $2(\lambda _{1}-a)<0$. También $\lambda _{1}<a$.

Ahora, de la relación con la traza de la matriz M, se tiene

$2(\lambda _{2}-c)=-2(\lambda _{1}-a)$,

de donde $\lambda _{2}>c$.

Vector propio asociado al menor valor propio $\lambda _{1}$

De la relación (2.6)

los vectores propios X de la matriz M satisfacen

$(M-\lambda I)X=O$,

y con $X^{t}=[x,y]$, en función de las componentes

$\left[{\begin{array}{cc}a-\lambda &{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c-\lambda \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]$

que da lugar a un sistema de ecuación equivalentes entre sí, de tal manera que resulta

$y={\frac {2}{b}}(\lambda -a)x$ con $b\neq 0$,

para cualquier valor propio $\lambda$. Entonces al considerar el valor propio $\lambda _{1}$

$by=2(\lambda _{1}-a)x$,

obteniendo cada vector propio asociado a $\lambda _{1}$

$\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]={\frac {1}{b}}\left[{\begin{array}{c}bx\\by\end{array}}\right]={\frac {x}{b}}\left[{\begin{array}{c}b\\2(\lambda _{1}-a)\end{array}}\right]$, para todo ${\frac {x}{b}}\neq 0$.

Tomando en particular el vector propio $v_{1}$

$v_{1}=\left[{\begin{array}{c}b\\2(\lambda _{1}-a)\end{array}}\right]$,

(3.6)

el cual por la NOTA 2, tiene segunda componente negativa.

Vector propio asociado a $\lambda _{2}$

Puesto que el segundo valor propio $\lambda _{2}$ es distinto de $\lambda _{1}$ (NOTA 1), entonces siendo M una matriz simétria el vector propio $v_{2}$ asociado a $\lambda _{2}$ es ortogonal a $v_{1}$.Así, se propone rotar $90^{o}$ en el sentido antihorario el vector $v_{1}$ quedando

$v_{2}=\left[{\begin{array}{c}-2(\lambda _{1}-a)\\b\end{array}}\right]$,

(3.7)

y por la NOTA 2, la primera componente es positiva. También $\|v_{1}\|=\|v_{2}\|$.

Siendo el propósito describir la rotación de la cónica, el ángulo correspondiente oscilará en el intervalo $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$, se elige el par de vectores propios siguiente:

${\begin{cases}v_{1},\;\;v_{2}&{\text{cuando }}b>0{\text{ (rotacion negativa)}},\\-v_{1},\;\;-v_{2}&{\text{cuando }}b<0{\text{ (rotacion positiva)}},\end{cases}}$

(3.8)

Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso $v_{1}$ está en el cuarto cuadrante del plano cartesiando, $v_{2}$ está en el primer cuadrante y, en el segundo caso, los vectores están en el primero y segundo cuadrante respectivamente.

Ángulo de rotación

Dados los vectores ${\vec {A}},\;\;{\vec {B}}$ su producto punto satisface

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {B}}\|\cos \theta$

siendo $\theta \in [0,\pi ]$ el ángulo formado por ellos. Entonces si ${\vec {A}}=\langle 1,0\rangle$ (en la dirección positiva del eje X), al tomar ${\vec {B}}=v_{1}$ y al reemplazar

$b=\|v_{1}\|\cos \theta$,

el ángulo de rotación $\phi \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ queda definido por

${\begin{cases}\phi =-\arccos \left({\frac {b}{\|v_{1}\|}}\right),&b>0\\\phi =\pi -\arccos \left({\frac {b}{\|v_{1}\|}}\right),&b<0\end{cases}}$

(3.9)

Entonces, en el primer caso se presenta una rotación negativa y en el segundo, cuanbo $b<0$, la rotación es positiva.

Cambio de Coordenadas

Antes de proceder a realizar un cambio de coordenadas, se revisan las opciones de signos de los valores propios.

Sobre los signos de los valores propios de la matria M

Se plantea la pregunta:

¿Es posible que $\lambda _{1}<0,\;\;\lambda _{2}<0$?

Supóngase que ambos valores propios son negativas; en tal caso $trM<0$, es decir que $a+c<0$ y siendo $a>0$ entonces $c<0$. Con lo cual el determinante sería

$detM=ac-{\frac {b^{2}}{4}}<0$,

NOTA 3 Sólo el valor propio $\lambda _{1}$ puede ser negativo.

Ahora, ¿es posible que el valor propio $\lambda _{2}$ sea nulo? En tal caso, el determinante $detM=0$ muestra que $ac={\tfrac {b^{2}}{4}}$ y, del hecho

$\lambda _{2}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)+{\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$

se tendría $a+c<0$, de lo cual $a<0$, contradiciendo la condición (3.1b)

. Así, se tiene

NOTA 4 El mayor valor propio $\lambda _{2}$ nunca se anula.

De la relación de los valores propios con la traza se puede decir:

NOTA 5 Si $trM<0$ y el valor propio $\lambda _{1}<0$, entonces $0<\lambda _{2}<-\lambda _{1}$.

Teniendo en cuenta que el valor propio $\lambda _{1}$ es el más pequeño se tiene:

NOTA 6 Si $\lambda _{1}>0$, entonces $trM>0$ y $detM>0$.

Matriz de rotación P

La determinación de los vectores propios $v_{1},\;\;v_{2}$ permite replantear la ecuación cartesiana (3.1a)

en función de otras variables, con el fin de facilitar la identificación de la cónica que está describiendo. Así, se proponen las variables $u,\;v$ y se define la transformación

$\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]=P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$

(3.10a)

siendo P la matriz de orden 2, formada por los vectores propios normalizados

$P=\left[{\begin{array}{lr}{\frac {1}{\|v_{1}\|}}v_{1}&{\frac {1}{\|v_{2}\|}}v_{2}\end{array}}\right]$,

y por (3.6)

y (3.8)

se tiene $\|v_{1}\|=\|v_{2}\|$, con lo cual

$P={\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]$.

Matriz de rotación negativa

para el caso $b>0$,

$P_{1}={\frac {1}{\|v_{1}\|\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]}}$.

(3.10b)

teniendo presente (3.6)

y (3.7)

.

Matriz de rotación positiva

Para el caso $b<0$, según (3.8)

$P_{2}=-{\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]$.

(3.10c)

En ambos casos se tiene en cuenta el resultado $P^{t}MP=\left[{\begin{array}{cc}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]$ (ver teoría), y al realizar la sustitución

$\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]=P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$

en la ecuación de segundo grado dada al comienzo, escrita en la forma

$\left[{\begin{array}{lr}x&y\end{array}}\right]M\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]+f=0$

se simplifica inicialmente en

$\left[{\begin{array}{lr}u&v\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]+f=0$,

y al desarrollar el primer producto

$\lambda _{1}u^{2}+\lambda _{2}v^{2}+\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]+f=0$

(3.11)

Está por resolver el producto $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$ que contiene las coordenadas del centro de la cónica; se anulan cuando los coeficientes d y e son cero. Obsérvese que esta ecuación carece del término uv, indicando que la cónica correspondiente está en su forma normal.

Caso $b>0$ (rotación negativa)

$\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P_{1}\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]={\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$,

obteniendo

$\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P_{1}\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]={\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left\{\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)u+\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)v\right\}$

(3.12)

y al reemplazarlo en la ecuación (3.11)

$\lambda _{1}u^{2}+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}v^{2}+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{\|v_{1}\|}}v+f=0$

(3.13)

Se procede a completar cuadrados:

CASO 1 $detM\neq 0$.

Siendo cada valor propio distindo de 0, la expresión (3.13)

queda

$\lambda _{1}\left(u+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}+\lambda _{2}\left(v+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{2}\|}}\right)^{2}=T_{1}-f$

(3.14a)

donde

$T_{1}={\frac {1}{4\|v_{1}\|^{2}}}\left[{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)^{2}}{\lambda _{1}}}+{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]\right)^{2}}{\lambda 2}}\right]$.

(3.14b)

Entonces, la ecuación (3.14a)

representa:

${\begin{cases}{\text{Una elipse,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}>f,\\{\text{Una hipérbola,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}\neq f,\\{\text{Dos rectas coincidentes,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Un punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Ningún punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}<f.\end{cases}}$

En los dos primeros casos, los centros están en

$(h,k)=\left({\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}},{\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$.

(3.14c)

Las rectas coincidentes tienen ecuaciones

$v+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}=\pm {\sqrt {\frac {-\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}\left(u+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}}\right)$

(3.15)

CASO 2 $detM=0$.

Por la NOTA 4, se presenta como única opción: $\lambda _{1}=0\;\;(\lambda _{2}>0)$. Así, de la ecuación (3.13)

queda

${\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}\left(v+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}=T_{2}-f$

(3.16a)

con

$T_{2}={\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)^{2}}{4\lambda _{2}\|v_{1}\|^{2}}}$,

(3.16b)

que representa

Una parábola, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\neq 0$,

con eje de simetría paralelo al eje y y vértice en el punto

$\left({\frac {\|v_{1}\|}{\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}}(T_{2}-f),{\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$,

(3.16c)

Puede tenerse también

Dos rectas paralelas, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f>0$,

con ecuaciones

$v={\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{\lambda _{2}}}(T_{2}-f)}}$.

(3.16d)

La ecuación (3.16a)

puede representar

Una recta, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f=0$,

Por último, puede representar

Ningún punto, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f<0$.

Caso b<0 (rotación positiva)

Ya que la matriz a considerar $P_{2}$ difiere de la anterior $P_{1}$ en el signo, los desarrollos y resultados presentados en la sección anterior son similares. De esta manera

$\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P_{2}\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]={\frac {-1}{\|v_{1}\|}}\left\{\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)u+\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)v\right\}$

(3.17)

al reemplazarlo en (3.11)

produce una ecuación ligeramente dintinta de (3.12)

$\lambda _{1}u^{2}-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}v^{2}-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{\|v_{1}\|}}v+f=0$

(3.18)

lo cual indica que se obtienen los resultados de la sección 3.2.3, con una diferencia:

las coordenadas del centro en el caso de la elipse y de la hipérbola, así como en el vértice para el caso de la parábola son los opuestos aditivos.

CASO 1 $detM\neq 0$.

Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión (3.18)

queda

$\lambda _{1}\left(u-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}}\right)^{2}+\lambda _{2}\left(v-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}=T_{1}-f$

(3.19a)

donde

$T_{1}={\frac {1}{4\|v_{1}\|^{2}}}\left[{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)^{2}}{\lambda _{1}}}+{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)^{2}}{\lambda _{2}}}\right]$,

(3.19b)

tal como el de (3.14b)

De esta manera, la ecuación (3.19a)

representa:

${\begin{cases}{\text{Una elipse,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}>f,\\{\text{Una hipérbola,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}\neq f,\\{\text{Dos rectas coincidentes,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Un punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Ningún punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}<f.\end{cases}}$

En los dos primeros casos sus centros están en

$(h,k)=\left({\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}},{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$.

(3.19c)

Las rectas coincidentes tienen ecuaciones

$v-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}=\pm {\sqrt {\frac {-\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}\left(u-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}}\right)$

(3.20)

El caso del punto, sus coordenadas están dadas por (h,k).

CASO 2 $detM=0$.

Nuevamente, como en el baso b>0, por la Nota 4, se tiene la única opción: $\lambda _{1}=0\;(\lambda _{2}>0)$. De la ecuación (3.18)

queda

${\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}\left(v-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}=T_{2}-f$

(3.21a)

con $T_{2}$ dado por (3.16b)

, la cual representa

Una parábola, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\neq 0$,

con eje de simetría paralelo al eje u y vértice en el punto

$\left({\frac {-\|v_{1}\|}{\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}}(T_{2}-f),{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$,

(3.21b)

Puede tenerse también

Dos rectas paralelas, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f>0$,

con ecuaciones

$v={\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{\lambda _{2}}}(T_{2}-f)}}$.

(3.21c)

y tal como (3.21a)

puede representar

Una recta, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f=0$,

con ecuación

$v={\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{\lambda _{2}}}(T_{2}-f)}}$

(3.21d)

paralela al eje u. Por último, puede suceder que (3.21a)

represente

Ningún punto, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f<0$.