Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Las leyes de la inducción

La física de la inducción

(1) Una fem es inducida en un lazo si se varía el flujo variando el área del circuito. (2) Cuando el disco gira hay una fem debido a ${\vec {v}}\times {\vec {B}}$, pero sin cambio en el flujo enlazado. (3) Cuando las placas se mesen en un campo magnético uniforme, puede haber una gran variación del flujo enlazado sin generación de una fem. (4) ¿Rotará el disco si la corriente I se para?. (5) Un circuito con un generador de CA y una resistencia.

En la figura (1) podemos ver un solo lazo de alambre cuyas dimensiones se pueden cambiar. El lazo tiene dos partes; la parte (a) en forma de U fija, y un travesaño (b) que se puede deslizar a lo largo de las dos partes de U. Siempre hay un circuito completo, pero su área es variable. Coloquemos el lazo en un campo magnético con el plano de la U perpendicular al campo. De acuerdo a la regla, cuando el travesaño se mueve, debe haber en el lazo una fem proporcional a la derivada respecto al tiempo del flujo através del lazo. Esta fem originará una corriente en el lazo. Supondremos que existe en el alambre una resistenca adecuada para que las corrientes sean pequeñas. Así podemos ignorar cualquier campo magnético de estas corrientes. El flujo através del lazo es $wLB$ de modo que la "regla del flujo" daría para la fem

$\varepsilon =wB{\frac {dL}{dt}}=wBv$

donde $v$ es la velocidad de traslación del travesaño.

¿Qué sucede si el lazo queda estático y el campo magnético varía? La "regla de flujo" sigue siendo correcta, cualquiera que sea la razón por la que el flujo varíe. Las observaciones de Faraday condujeron al descubrimiento de que los campos magnéticos y estáticos están relacionados por una ley nueva: en una región donde el campo magnético esté variando con el tiempo, se generan campos eléctricos. La ley general para el campo eléctrico está asociado con un campo magnético variable es

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}$

Así, la "regla de flujo" -o sea que, la fem en un circuito es igual a la derivada respecto al tiempo del flujo magnético através del circuito- servirá lo mismo si la variación del flujo se debe a variación de campo o si el circuito se mueve (o ambos). No sebemos de ninguna otra parte de la física donde un principio general simple y exacto requiera para su comprensión real un análisis en términos de dos fenómenos diferentes.

Excepciones a la "regla del flujo"

El campo ${\vec {E}}$ puede existir en el espacio libre y su integral de línea alrededor de cualquier línea imaginaria fija en el espacio es la derivada respecto al tiempo del flujo de ${\vec {B}}$ a través de esa línea. Veamos ahora una situación en la cual el flujo a través del circuito no varíe pero, sin embargo, existe una fem. La figura (2) muestra un disco conductor que puede rotar sobre un eje fijo en la presencia de un campo magnético. Un contacto se hace en el eje y el otro en la periferia del disco. Se completa un circuito con un galvanómetro. Cuando el disco gira, el "circuito", en el sentido del lugar en el espacio donde están las corrientes, siempre es el mismo. Pero la parte del circuito en el disco está en el material que se mueve. Aunque el flujo através del circuito es constante, hay una fem, como se puede observar por la deflección del galvanómetro. Claramente, existe un caso donde la fuerza ${\vec {v}}\times {\vec {B}}$ en el disco en movimiento da lugar a una fem que no se puede igualar a una variación de flujo.

Ahora vamos a ver una situación rara, un ejemplo opuesto, en el cual el flujo a través de un "circuito" varía pero no hay fem. Imaginemos dos placas metálicas conbordes ligeramente curvos, como se ve en la figura (3), colocadas en un campo magnético uniforme perpendicular a sus superficies. Cada placa está conectada a uno de los terminales de un galvanómetro, como se puede ver. Las placas hacen contacto en un punto P, así que hay un circuito completo. Si ahora las placas se mecen en un pequeño ángulo, el punto de contacto se moverá hacia el punto P'. La "regla del flujo" no se aplica en este caso. Debe ser aplicada a circuitos en los cuales el material del circuito no se altera. La física correcta siempre está dada por las dos leye básicas

${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

,

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}$

.

Aceleración de partículas por un campo eléctrico inducido; el betatrón

Imaginemos un campo magnético que en todo punto de un plano señala en dirección vertical. El campo magnético es producido por un electroimán, pero no nos preocuparemos de los detalles. Imaginemos que el campo eléctrico es simétrico con respecto a un eje. El campo magnético también varía con el tiempo. Ahora imaginemos un electrón moviéndose en este campo magnético en una trayectoria que es un círculo de radio constante con su centro en el eje del campo. Debido al campo magnético variable, habrá un campo eléctrico ${\vec {E}}$ tangencial a la órbita del electrón, el cual hará que éste viaje alrededor del círculo El electrón sufrirá la fuerza eléctrica $q{\vec {E}}$ y será acelerado por ella. El funcionamiento correcto de un betatrón necesita que el campo magnético promedio dentro de la órbita aumente el doble de la papidez del campo magnético en la órbita misma.

El acelerador de inducción magnética o betatrón, pertenece al grupo de máquinas ideadas para acelerar partículas cargadas hasta elevadas energías. Fue inventado en 1941 por Donald W. Kerst. El betatrón construido en 1945 aceleraba electrones hasta una energía de 108 eV.

El acelerador consistía en un tubo toroidal en el que se había hecho el vacío, y se situaba entre las piezas polares de un electroimán. Los electrones acelerados mediante una diferencia de potencial de unos 50.000 voltios por un cañón electrónico, entraban tangencialmente dentro del tubo, donde el campo magnético les hacía dar vueltas en una órbita circular de 5 m de longitud.

Generador de Van de Graaf

La fuerza centrípetra que ejerce el campo magnético, obliga a las partículas a describir una órbita circular. El problema que surge en esta situación, es que a medida que las partículas son aceleradas, se necesita un campo magnético cada vez mayor para que las partículas describan una órbita circular de un determinado radio.

El aspecto didáctico más importante de esta máquina, es la de mostrarnos el campo eléctrico inducido por un campo magnético variable con el tiempo.

Los fundamentos físicos del betatrón combinan, la ley de Faraday, y el movimiento de partículas cargadas en un campo eléctrico y en un campo magnético.

Una paradoja

Imaginen que construimos un dispositivo como el de la figura (4). Este dispositivoconsistirá en un disco circular de plástico delgado sostenido en un eje concéntricocon cojinetes excelente, que sea completamente libre de rotar. En el disco hay una bobina de alambre en forma de solenoide corto concéntrico con el eje de rotación. Por este solenoide pasa una corriente estacionaria I producida por una pequeña batería montada también en el disco. Cerca del borde del disco ha un número de pequeñas esferas metálicas aisladas unas de otras. Cada una de estas pequeñas esferas conuctoras está cargada con la misma carga electrostática $Q$. Todo está completamente quierom y el disco está en reposo. Por algún accidente la corriente en el solenoide se interrumpe sin ninguna intervención externa. Mientras la corriente continuaba, había un flujo magnético a través del solenoide más o menos paralelo al eje del disco. Cuando la corriente se interrumpe, este flujo debe desaparecer. Habrá como consecuencia, un campo eléctrico inducido que circulará a lo largo de círculos centrados en el eje. Las esferas cargadas en el perímetro del disco experimentarán un campo eléctricon tangencial al perímetro del disco. Según este razonamiento sería de esperar que a medida que la corriente en el solenoide desaparece, el disco debe empezar a rotar. Si conociéramos el momento de inercia del disco, la corriente del solenoide y las cargas en la esfera pequeña, calcularíamos la velocidad angular resultante. Aplicando la conservación del momento angular, es decir, no debe haber rotación cuando se pare la corriente. ¿Cuál es el razonamiento correcto? ¿Rotará o no rotará el disco? Dejamos la interrogante para el lector.