Física/Estática/Tipos de equilibrio

Estabilidad del equilibrio

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.

Un resultado elemental del análisis matemático dice una condición necesaria para la existencia de un extremo local de una función diferenciable es que todas las derviadas primeras se anulen en algún punto. Para determinar problemas unidimensionales, comprobar si un punto de equilibrio es estable, inestable o indiferente implica verificar las derivadas segundas de la energía potencial:

Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si el sistema se sufre una desplazamiento ni que sea pequeño de su posición de equilibrio entonces se alejará más y más de él (de ahí el nombre inestabilidad para esa situación).

Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entonces encontramos una región donde la energía no varía. Así si el sistema es desplazado de la posición de equilibrio una cantidad suficientemente pequeña, posiblemente no volverá a acercarse al equilibrio pero tampoco divergerá mucho de la posición anterior de equilibrio.

Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local. La respuesta del sistema frente a pequeñas perturbaciones o un alejamiento arbitrariamente pequeño de del punto de equilibrio es volver u oscilar alrededor del punto de equilibrio. Si existe más de un punto de equilibrio estable para un sistema, entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energía potencia es mayor que el mínimo absoluto representa un estado metaestable.

Para problemas bidimensionales y tridimensionales (o más generalmente n-dimensionales) la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) definida por la matriz hessiana de la energía potencial:

Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son números positivos.

Equilibrio indiferente, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos.

Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x₁,...,x_n) no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo. Esto implica que según ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero según otras habrá inestabilidad unidimensional.