Física/El estado gaseoso/Teoría cinético molecular de gases ideales

Concepto de presión

Si se considera un gas y una caja con un pistón que se puede desplazar en uno de sus extremos, siendo V el volumen de la caja, podemos imaginar las moléculas del interior golpeando el pistón con diferentes velocidades. Si en el exterior hay vacío y no se ejerce ninguna fuerza sobre el émbolo que compense el momento transferido al mismo por los choques moleculares, el pistón se verá empujado hacia afuera. La fuerza ( $F$ ) que actúa sobre el émbolo será proporcional al número de choques, que a su vez es proporcional a su superficie ( $A$ ), por ello es conveniente trabajar con la fuerza por unidad de superficie que se define como presión.

p=F/A

Relación entre presión y trabajo

El trabajo diferencial ( $-dW$ ) hecho sobre el gas al comprimirlo moviendo el pistón una cantidad diferencial ( $dx$ ) es el producto de la fuerza por la distancia y por tanto

-dW=-Fdx=-pAdx=-pdV

donde se ha utilizado que el cambio diferencial de volumen es $dV=Adx$ . El signo negativo concuerda con el convenio de considerar negativo el trabajo ejercido sobre el sistema.

Artículo: w:Criterio de signos termodinámico

Relación entre presión y energía

Para estimar la fuerza ejercida por el gas sobre el émbolo, supondremos que los choques de las moléculas con el mismo son perfectamente elásticas. Si no lo fuesen, el pistón comenzará a absorber energía y a calentarse, llegándose finalmente a un equilibrio térmico con el gas, momento en que por la segunda ley de la Termondinámica, el émbolo no podrá absorber más energía del gas. Así pues, en promedio, en cada choque la partícula incidente rebotará con la misma energía.

Sí ${\vec {v}}$ es la velocidad de una molécula y $v_{x}$ la componente X de ${\vec {v}}$ y el cambio de momento en el choque (considerado elástico) es $2mv_{x}$ . Si existen $N$ moléculas de gas en el volumen $V$ , la densidad atómica de partículas con velocidades entre $v_{x}$ y $v_{x}+dv_{x}$ será $f(v_{x})dv_{x}$ . En un tiempo $dt$ sólo golpearán el pistón la mitad de aquellas moléculas que estén a una distancia inferior a $v_{x}dt$ del pistón y como el área del émbolo es $A$ el número de colisiones es $f(v_{x})dv_{x}v_{x}dtA/2$ y el impulso se puede expresar entonces como

dF(v_{x})dt=f(v_{x})dv_{x}v_{x}dtAmv_{x}

de lo que se puede deducir la presión

dp(v_{x})={\frac {dF(v_{x})}{A}}=f(v_{x})dv_{x}mv_{x}^{2}

La presión para todas las velocidades v_x es

p=\int _{0}^{\infty }dp(v_{x})=\int _{0}^{\infty }f(v_{x})mv_{x}^{2}dv_{x}=nm{\frac {1}{n}}\int _{0}^{\infty }f(v_{x})v_{x}^{2}dv_{x}=nm<v_{x}^{2}>

Desde el punto de vista del gas no hay nada especial en la dirección X por lo que $<v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}>={\frac {1}{3}}<v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}>={\frac {<v^{2}>}{3}}$

Podemos escribir la presión en función del promedio de la velocidad y no de su su componente X.

p={\frac {1}{3}}nm<v^{2}>={\frac {2}{3}}n<{\frac {1}{2}}mv^{2}>={\frac {2}{3}}n<E_{c}>

Obteniéndose una relación entre presión y energía cinética promedio del centro de masas de la molécula.

Para moléculas monoatómicas y si las energías involucradas no pueden excitar los átomos, se podrá considerar a los átomos como partículas puntuales y la energía cinética coincidirá con la energía total y la energía interna del gas ( $U$ ) se puede calcular como el producto del número de átomos por la energía cinética promedio y por tanto

p={\frac {2}{3}}n{\frac {U}{N}}

ó

pV={\frac {2}{3}}U

Relación entre presión y volumen con condiciones adiabáticas

Diferenciando en la relación entre presión y volumen para un gas monoatómico se llega a

pdV+Vdp={\frac {2}{3}}dU

y como $dU=-dW=-pdV$

pdV+Vdp=-{\frac {2}{3}}pdV

{\frac {5}{3}}pdV+Vdp=0

{\frac {5}{3}}{\frac {dV}{V}}+{\frac {dp}{p}}=0

e integrando se llega a

pV^{\gamma }=C,siendo\gamma ={\frac {5}{3}}

Referencias

Richard P. Feynman y Robert B. Leighton. Física. Volumen I: Mecánica, radiación y calor. 1987. México, D. F.: Sistemas Técnicos de Edición, S. A. de C. V. id = 968-858-091-0