Física/Dinámica de rotación/Rotación de un sólido

Rotación en sólidos rígidos

En general se utiliza un cuerpo sólido ideal no puntual e indeformable denominado sólido rígido como ejemplo básico para estudiar los movimientos de rotación de los cuerpos. La velocidad de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del cuerpo a alterar su movimiento de rotación.

Cinemática de la rotación de sólidos rígidos: Para analizar el comportamiento cinemático de un cuerpo rígido debemos partir de la idea de que un angulo θ define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el cuerpo rígido (CR); este angulo se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación del CR.

Si la posición queda completamente definida por la coordenada angular θ, entonces la velocidad del CR se podrá expresar como:

${\vec {V}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Mientras que la aceleración quedaría definida por:

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

La energía cinética de rotación se escribe:

$E_{c}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$.

La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así: la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado ($\Delta \phi$).

$\Delta E_{c}={\vec {M}}\cdot \Delta {\vec {\phi }}$.

Definición de momento de inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cómo es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula a al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:

$I=\sum m_{i}r_{i}^{2}\,$

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:

$I=\int _{V}r^{2}dm=\int _{V}\rho r^{2}\,dV$

El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: $\scriptstyle {F=ma}$ tiene como equivalente para la rotación:

$\tau =I\alpha \,$

donde:

• $\scriptstyle {\tau }$ es el momento aplicado al cuerpo.
• $\scriptstyle {I}$ es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
• $\textstyle {\alpha ={d^{2}\theta \over dt^{2}}}$ es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es $\scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}$, mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es $\scriptstyle {{1 \over 2}I\omega ^{2}}$. Donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular $\scriptstyle {\vec {L}}$:

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$

El vector momento angular tiene la misma dirección que el vector velocidad angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$.

Momentos de inercia de cuerpos simples

Momentos de inercia de algunos sólidos. En el caso de esferas o cilindros llenos, el radio interno vale cero. M es la masa del sólido.

Momentos de inercia de cuerpos simples

Descripción		$I$
varilla respecto a un eje que pasa por su centro		${\frac {mr^{2}}{12}}$
anillo delgado respecto al eje		$mr^{2}\,$
anillo delgado respecto a un diámetro		${\frac {mr^{2}}{2}}$
cilindro macizo respecto a su eje de revolución		${\frac {mr^{2}}{2}}$
esfera respecto a un diámetro		${\frac {2mr^{2}}{5}}$

Tensor de inercia de un sólido rígido

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, dicho tensor se forma a partir de los momentos de inercia según tres ejes perpendiculares y tres productos de inercia tal como se explica a continuación.

Tal como se explica al principio del artículo, para un sólido rígido tridimensional pueden definirse momentos de inercia según diversos ejes, en particular pueden definirse según tres ejes perpendiculares prefijados indepedientes que llamaremos X, Y y Z:

$I_{xx}=\int _{M}d_{x}^{2}dm=\int _{V}\rho (y^{2}+z^{2})dxdydz$

$I_{yy}=\int _{M}d_{y}^{2}dm=\int _{V}\rho (z^{2}+x^{2})dxdydz$

$I_{zz}=\int _{M}d_{z}^{2}dm=\int _{V}\rho (x^{2}+y^{2})dxdydz$

Además de estas magnitudes pueden definirse los llamados productos de inercia:

$I_{xy}=I_{yx}=\int _{M}-xy\ dm=\int _{V}-\rho xy\ dxdydz$

$I_{yz}=I_{zy}=\int _{M}-yz\ dm=\int _{V}-\rho yz\ dxdydz$

$I_{zx}=I_{xz}=\int _{M}-zx\ dm=\int _{V}-\rho zx\ dxdydz$

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

$I_{ij}=I_{ji}=\int _{M}(\delta _{ij}(\sum _{i}x_{i}^{2})-x_{i}x_{j})\ dm=\int _{V}-\rho (\sum _{i}x_{i}^{2})-x_{i}x_{j})\ dxdydz$

Donde $i,j\in {1,2,3}$ y donde $(x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)$. El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

$I_{eje}=\mathbf {t} \cdot (\mathbf {I} \mathbf {t} )=\left({\begin{matrix}t_{x}&t_{y}&t_{z}\\\end{matrix}}\right)^{T}\left({\begin{matrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}t_{x}\\t_{y}\\t_{z}\\\end{matrix}}\right)=\sum _{j}\sum _{k}I_{jk}t_{j}t_{k}$

Donde la matriz anterior es el tensor de inercia expresado en la base XYX y t = (t_x, t_y, t_z) es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Derivación formal del tensor de inercia

La velocidad de un cuerpo rígido se puede escribir como la suma de la velocidad del centro de masa más la velocidad de un elemento del sólido, matemáticamente esto es

$\mathbf {v} =\mathbf {V} _{CM}+\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r}$

donde $\mathbf {v}$ es la velocidad, $\mathbf {V} _{CM}$ es la velocidad del centro de masa, $\mathbf {\Omega }$ es la velocidad angular medida en un sistema solidario al sólido y ${\vec {r}}$ es la distancia entre el orígen de este sistema y el elemento del sólido. Si se toma la norma al cuadrado de este vector se puede obtener la energía cinética de dicho diferencial de cuerpo rígido, a saber

$dT={\frac {1}{2}}dm\;v^{2}$

donde $dm=\rho (\mathbf {r} )dV$, con $\rho (\mathbf {r} )$ la densidad del cuerpo y $dV$ un elemento de volumen. Para obtener la energía cinética total del cuerpo rígido se debe integrar en todo el volumen de éste:

$T={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )v^{2}dV$

$T={\frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}dV+\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {V} _{CM}\cdot (\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )dV$

Con el fin de anular el último término, i. e. simplificar la expresión (y las sucesivas), se elige el origen del sistema solidario al sólido en el centro de masa. De este modo

$\int \rho \mathbf {V} _{CM}\cdot (\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )dV=\int \rho \mathbf {r} \cdot (\mathbf {V} _{CM}\wedge \mathbf {\Omega } )=(\mathbf {V} _{CM}\wedge \mathbf {\Omega } )\cdot \int \rho \mathbf {r} \quad dV=0$

pues, en virtud de la elección hecha $\int \rho \mathbf {r} \quad dV=0$. Se tiene luego que

$T={\frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}dV$

es evidente, que el primer término el la energía cinética debido a la traslación del cuerpo. El otro término, en consecuencia, debe ser la energía asociada a la rotación del mismo. Si se escribe explícitamente el integrando de este último término se tiene

$\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} =(\Omega _{2}x_{3}-\Omega _{3}x_{2};\Omega _{3}x_{1}-\Omega _{1}x_{3};\Omega _{2}x_{1}-\Omega _{1}x_{2})$

$(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}(\Omega _{i}x_{j}-\Omega _{j}x_{i})^{2}=\sum _{ij}\Omega _{i}^{2}x_{j}^{2}-\Omega _{j}x_{i}\Omega _{i}x_{j}=\sum _{ij}\Omega _{i}\Omega _{j}(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})$

donde es claro que:

$\Omega _{j}=\sum _{j}\Omega _{j}\delta _{ij}\,$

con $\delta _{ij}$ la delta de Kronecker. Poniendo este resultado en la expresión asociada a la energía cinética debido a la rotación y poniendo la integral dentro de la sumatoria se tiene

$T_{rot}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\Omega _{i}\Omega _{j}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})dV$

Debe notarse que el factor correspondiente a la integral depende únicamente de las característica geométricas (físicas) del cuerpo. En efecto, depedende de su forma (volumen) y de la masa del cuerpo y de como cómo está distribuida en dicha forma. Este factor es la componente $i,\,j$ de un cierta matriz que se conoce como Tensor de Inercia, puesto que toda matriz corresponde a un tensor de segundo rango:

$I_{ij}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})\quad dV$

A los elementos $I_{ii},\,i=1,2,3$ se los llama momento de inercia respecto del eje $i$. Claramente, se ve que el tensor de inercia es simétrico, por lo tanto es siempre diagonalizable. Es decir, siempre se puede encontrar una base de vectores tal que dicha matriz tenga forma diagonal. Tales vectores definen lo que se conoce como ejes principales. En otras palabras, siempre se puede elegir un sistema completo de vectores ortonormales (ejes principales) con los cuales el tensor de incercia toma forma diagonal.