Física/Dinámica de rotación/Rotación de un punto

Uno de los tipos de movimiento con los que nos encontramos son movimientos repetitivos en los que la posición del objeto que se se muevo vuelve a su posición original. La situación de estos tipos de movimiento que es más fácil de analizar es el que transcurre en un plano. Para estudiarlo es útil definir una serie de magnitudes angulares.

Definición de radián

Si consideramos un punto que describe algún tipo de movimiento rotatorio y tomamos el segmento que una un punto interior a la trayectoria y el punto móvil, nos daremos cuenta que dicho segmento barre un ángulo hasta que se repite la posición original y el ángulo recorrido es de 360º.

Si bien la medición del ángulo en grados sexagesimales es una posibilidad para el estudio de la cinemática de la rotación, resulta más conveniente otra unidad, conocida como radian. Para definirlo consideremos un segmento de longitud constante que barre la superficie de un círculo. Si llamamos $s$ a la longitud del arco de circunferencia correspondiente al ángulo barrido en un tiempo $t$ y $R$ la longitud del segmento considerado, el ángulo en radianes es ${\frac {s}{R}}$. Para un círculo completo $s=2\pi R$ es la longitud de la circunferencia y por tanto el número de radianes de un círculo completo es ${\frac {2\pi R}{R}}=2\pi$.

Coordenadas angulares

La coordenada fundamental para el estudio de la cinemática de la rotación es el ángulo $\left(\theta \right)$, de la que se derivan otras dos magnitudes: la velocidad angular y la acelaración angular.

Velocidad angular: El módulo de la velocidad angular $\left({\vec {\omega }}\right)$ se define como

$\omega =\left|{\frac {d\theta }{dt}}\right|$

su dirección es la perpendicular al plano del movimiento y el sentido el definido por la w:regla de la mano derecha.

Aceleración angular: De forma análoga a la aceleración lineal, se define la aceleración angular $\left({\vec {\alpha }}\right)$ como

${\vec {\alpha }}={\frac {\vec {d\omega }}{dt}}$

Relación entre magnitudes lineales y angulares

En el caso estudiado de un partícula que describe un movimiento circular se puede determinar la velocidad lineal como

${\vec {v}}=v_{t}{\vec {u_{t}}}={\frac {ds}{dt}}{\vec {u_{t}}}$

siendo ${\vec {u_{t}}}$ un vector unitario tangencial a la trayectoria circular. La descripción de dicho vector unitario y el vector unitario radial en coordenadas cartesianas es

${\vec {u_{t}}}=\cos \theta {\vec {i}}+\sin \theta {\vec {j}}$

${\vec {u_{r}}}=-\sin \theta {\vec {i}}+\cos \theta {\vec {j}}$

siendo $\theta$ el ángulo entre el radio que describe el movimiento de la partícula y el eje X.

Las derivadas con respecto al tiempo de los vectores unitarios son

${\frac {d{\vec {u_{t}}}}{dt}}=-\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {i}}+\cos \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {j}}={\frac {d\theta }{dt}}{\vec {u_{r}}}$

${\frac {d{\vec {u_{r}}}}{dt}}=-\cos \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {i}}-\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {j}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\vec {u_{t}}}$

y

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\vec {u_{t}}}+{\frac {ds}{dt}}{\frac {d{\vec {u_{t}}}}{dt}}=R{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}{\vec {u_{t}}}+R\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}{\vec {u_{r}}}=R\alpha {\vec {u_{t}}}+R\omega ^{2}$

Referencias

• Gettys, W. Edward, Keller, Frederick J., Skove, Malcom J. (1995). Física Clásica y Moderna. 84-7615-635-9.