Física/Dinámica/Texto completo

Dinámica es una rama de la física que estudia la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y los efectos que se producirán sobre el movimiento de los cuerpos.

La dinámica en el ámbito de la física está regulada por las Leyes de Newton lo cual obedece a 3 leyes: la primera ley, indica que un cuerpo se mantendrá en reposo o movimiento uniforme excepto que sobre el cuerpo actúe una fuerza; la segunda ley, establece que la variación del movimiento de los cuerpos es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él; la tercera ley expresa que a la fuerza que se aplica sobre un cuerpo se le opone una fuerza de la misma intensidad pero en dirección opuesta.

Leyes de Newton

Sin lugar a dudas, Newton fue uno de los matemáticos más sobresalientes en la historia de la humanidad. Su principal legado son las llamadas "Leyes de Newton", las cuales dan una explicación muy distinta a lo que normalmente conocemos como sólo movimiento. Estas leyes fueron los primeros modelos fisicos propuestos por el hombre para explicar el movimiento.

La segunda Ley de Newton establece la relación entre la fuerza y el movimiento, en ella se establece que "si sobre un cuerpo de masa m se aplica una fuerza F, este cuerpo adquiere una aceleración a que es directamente proporcional a la fuerza aplicada". Esta Ley se sintetiza en la siguiente fórmula:

$F=ma$

Se denomina Leyes de Newton a tres leyes concernientes al movimiento de los cuerpos. La formulación matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687, en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Las leyes de Newton constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la mecánica clásica. En el tercer volumen de los Principia Newton mostró que, combinando estas leyes con su Ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Debe aclararse que las leyes de Newton tal como comúnmente se exponen, sólo valen para sistemas de referencia inerciales. En sistemas de referencia no-inerciales junto con las fuerzas reales deben incluirse las llamadas fuerzas ficticias o fuerzas de inercia que añaden términos suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partículas clásicas que interactúan entre sí.

Primera ley de Newton o Ley de Inercia

En ocasiones, esta ley se nombra también Principio de Galileo.

• En la ausencia de fuerzas, todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme respecto de un sistema de referencia Galileano.

Este principio puede ser reformulado de la manera siguiente:

• Un sistema de referencia en el que son válidas las leyes de la física clásica es aquel en el cual todo cuerpo permanece en un estado de movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia de fuerzas.

La Primera ley constituye una definición de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce en física el concepto de sistemas de referencia inerciales o sistemas de referencia Galileanos. Los sistemas no inerciales son todos aquellos sistemas de referencia que se encuentran acelerados.

Esta observación de la realidad cotidiana conlleva la construcción de los conceptos de fuerza, velocidad y estado. El estado de un cuerpo queda entonces definido como su característica de movimiento, es decir, su posición y velocidad que, como magnitud vectorial, incluye la rapidez, la dirección y el sentido de su movimiento. La fuerza queda definida como la acción mediante la cual se cambia el estado de un cuerpo.

En la experiencia diaria, los cuerpos están sometidos a la acción de fuerzas de fricción o rozamiento que los van frenando progresivamente. La no comprensión de este fenómeno hizo que, desde la época de Aristóteles y hasta la formulación de este principio por Galileo y Newton, se pensara que el estado natural de movimiento de los cuerpos era nulo y que las fuerzas eran necesarias para mantenerlos en movimiento. Sin embargo, Newton y Galileo mostraron que los cuerpos se mueven a velocidad constante y en línea recta si no hay fuerzas que actúen sobre ellos. Este principio constituyó uno de los descubrimientos más importantes de la física.

Segunda Ley de Newton o Ley de la Fuerza

• La variación del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la dirección en que actúan las fuerzas.

Newton definió el momento lineal (momentum) o cantidad de movimiento como una magnitud representativa de la resistencia de los cuerpos a alterar su estado de movimiento definiendo matemáticamente el concepto coloquial de inercia.

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$,

donde m se denomina masa inercial. La segunda ley se escribe por lo tanto:

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

Esta ecuación es válida en el marco de la teoría de la relatividad de Albert Einstein si se considera que el momento de un cuerpo se define como:

${\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Substituyendo en la ecuación de la fueza, la definción de la cantidad de movimiento clásica la segunda ley de Newton adquiere la forma más familiar de:

${\vec {F}}=md{\vec {v}}/dt=m{\vec {a}}$.

Esta ley constituye la definición operacional del concepto de fuerza, ya que tan sólo la aceleración puede medirse directamente. De una forma más simple, se podría también decir lo siguiente:

• La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de su masa y su aceleración.

${\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$

Donde F es la fuerza aplicada, m es la masa del cuerpo y a la aceleración.

Tercera Ley de Newton o Ley de acción y reacción

• Por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud y sentido opuesto.

Esta ley, junto con las anteriores, permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento angular.

Ley de acción y reacción fuerte

En la ley de acción y reacción fuerte, las fuerzas además de ser de la misma magnitud y opuestas, son colineales. La forma fuerte de la ley no se cumple siempre.

Ley de acción y reacción débil

En la ley de acción y reacción débil no se exige que las fuerzas de acción y reacción sean colineales, tan sólo de la misma magnitud y sentido opuesto, sin actuar necesariamente en la misma línea. Ciertos sistemas magnéticos no cumplen el enunciado fuerte de esta ley, y tampoco lo hacen las fuerzas eléctricas ejercidas entre una carga puntual y un dipolo. La forma débil de la ley de acción-reacción se cumple siempre. La cinemática de un punto se puede describir en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional con tres funciones que proporcionen la dependencia de cada una de ellas en función del tiempo.

$x=x(t)$

$y=y(t)$

$y=y(t)$

En el caso del punto todas las fuerzas son concurrentes y se puede trabajar con la fuerza resultante ${\vec {F_{r}}}$, de la que se han de considerar sus tres componentes: $F_{rx}$, $F_{ry}$ y $F_{rz}$. Derivando dos veces en función del tiempo y aplicando la segunda ley de Newton se encuentran las ecuaciones de la dinámica del punto.

$F_{rx}=m\,{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

$F_{ry}=m\,{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$

$F_{rz}=m\,{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

Donde m es la masa del punto material.

Con estas ecuaciones se puede determinar completamente la cinemática de la masa puntual considerada.

Discusión

Si se considera un sistema de puntos, la fuerza resultante sobre el punto i de todas las fuerzas, internas y externas, que actúan sobre el es:

${\vec {F_{i}^{i}}}+{\vec {F_{i}^{e}}}=m_{i}{\frac {d^{2}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}$

donde ${\vec {F_{i}^{i}}}$ es la resultante de todas las fuerzas internas del sistemas y ${\vec {F_{j}^{e}}}$ la de todas las fuerzas externas.

Sumando para todas las particulas a considerar se obtiene un resultante para el sistema completo de partículas:

$\sum _{i}{\vec {F_{i}^{i}}}+\sum _{i}{\vec {F_{i}^{e}}}=\sum _{i}m_{i}{\frac {d^{2}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\sum _{i}m_{i}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}$

La ecuación anterior se puede simplificar dado que por el principio de acción y reacción sabemos que a toda fuerza interna sobre el punto i le ha de corresponder otra igual y de sentido opuesto ejercida en otro punto j, por lo que el primer sumatorio de la parte izquierda de la igualdad se anula, quedando solamente las fuerzas externas al sistema:

$\sum _{i}{\vec {F_{i}^{e}}}={\frac {d^{2}\sum _{i}m_{i}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}$

Si realizamos el ejercicio de considerar una masa puntal sometida a la misma fuerza que la resultante de fuerzas externas del sistema completo y con una masa igual a la masa total del sistema, podremos escribir:

$\sum _{i}{\vec {F_{i}^{e}}}={\frac {d^{2}\sum _{i}m_{i}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}={\frac {Md^{2}{\vec {R}}}{dt^{2}}}$

donde vec{R} es el vector de posición del punto imaginario considerado y $M=\sum _{i}m_{i}$

Lo que inspira las siguientes definiciones.

Definición de centro de masas

El centro de masas de un sistema de puntos es el punto geométrico donde la resultante de las fuerzas ejercidas por todos los cuerpos del sistema se anula.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los cuales no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

Cálculo del CM de un sistema de masas discreto

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\sum _{i}\left({\vec {r}}_{i}\cdot m_{i}\right)}{\sum _{i}m_{i}}}$

Cálculo del CM de un sistema de masas continuo

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}dm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int {\vec {r}}dm$

Casos particulares en un sistema continuo

• Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la equivalencia $dm=\rho \cdot {dv^{}}^{}$

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\rho \int {\vec {r}}dv}{\rho \int dv}}={\frac {\int {\vec {r}}dv}{V}}$

Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o monodimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes.

- Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el centro geométrico del cuerpo.

• Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad $\rho ({\vec {r}})$. En este caso se calcula el CM de la siguiente forma.

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}\rho ({\vec {r}})dv}{M}}$

- La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad.

Interpretación física del centro de masas

El centro de masa de un sistema es un punto que se comporta dinámicamente como si todas las fuerzas externas del sistema actuasen directamente sobre el.

Referencias

Rotación de la Tierra

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.

La velocidad angular se expresa como el ángulo girado por unidad de tiempo y se mide en radianes por segundo. Otras unidades que se pueden utilizar son Hercios (ciclos por segundo) o revoluciones por minuto (rpm). Comúnmente se denomina por las letras: ${\vec {\omega }}$ u ${\vec {\Omega }}$. La rotación es una propiedad vectorial de un cuerpo. El vector representativo de la velocidad angular es paralelo a la dirección del eje de rotación y su sentido indica el sentido de la rotación siendo el sentido horario negativo y el sentido antihorario positivo. En ocasiones se utiliza también la frecuencia como medida escalar de la velocidad de rotación.

El grado de variación temporal de la frecuencia angular es la aceleración angular (rad/s²) para la cual se utiliza frecuentemente el símbolo ${\vec {\alpha }}$.

Período y frecuencia: Estos parámetros son de uso frecuente en sistemas rotantes a velocidad constante. El período es el inverso de la frecuencia y representa el tiempo que se tarda en dar una revolución completa. Período y frecuencia se representan respectivamente como:

Período: $T={\frac {2\pi }{\omega }}$

Frecuencia: $\nu ={\frac {\omega }{2\pi }}$

Transformaciones de rotación

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1.

Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:

$A={\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{pmatrix}}$

La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector) .

En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:

$R={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$ .

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo $\theta$ en sentido horario: $RA=A'$ , es decir

${\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\end{pmatrix}}$

donde $A'_{x}=A_{x}\cos \theta +A_{y}\sin \theta$ y $A'_{y}=-A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta$ son las componentes del nuevo vector después de ser rotado.

Teorema de rotación de Euler

El teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.

Referencias

Rotación alrededor de un eje fijo es un caso especial del movimiento rotacional. La hipótesis del eje fijo excluye la posibilidad de un eje en movimiento, y no puede describir fenómenos como el “bamboleo”.

De acuerdo al teorema de la rotación de Euler, la rotación alrededor de más de un eje al mismo tiempo es imposible, así pues, si dos rotaciones son forzadas al mismo tiempo en diferente eje, aparecerá un nuevo eje de rotación.

Las siguientes fórmulas y conceptos son útiles para comprender más a fondo la rotación sobre un eje fijo.

Relación entre el movimiento de rotación y el lineal

El movimiento de rotación tiene una estrecha relación con el movimiento lineal.

El desplazamiento lineal es el producto del desplazamiento angular por el radio del círculo descrito por el movimiento.

s=θR

La velocidad lineal es el producto de la velocidad angular por el radio del círculo descrito por el movimiento.

v=ωR

La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular por el radio del círculo descrito por el movimiento.

a=αR

Así mismo, tomando en cuenta lo anterior, las fórmulas de la cinemática mantienen esta misma relación.

Mientras que las fórmulas de la cinemática del movimiento lineal son: $v_{f}^{2}=v_{o}^{2}+2ad$

$v_{f}=v_{o}+at$

$d=v_{o}t+1/2at^{2}$

Para la cinemática del movimiento rotacional utilizaremos las siguientes:

ω_f ^2 = ω_o ^2 + 2αθ

ω_f=ω_o+αt

θ=ω_o t+1/2 αt^2

Desplazamiento angular θ

El desplazamiento angular de un objeto determina la cantidad de rotación del mismo y es descrito por la siguiente fórmula:

∆θ=θ_2-θ_1

El desplazamiento angular se mide en radianes (rad), aunque también se puede medir en revoluciones (rev). A continuación se presentan la comparación entre unidades.

1 rad = 57.3° 1 rev = 360° = 2π rad

Velocidad angular ω

La velocidad angular es el cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo, como se presenta en la siguiente fórmula:

ω= ∆θ/∆t =(θ_2-θ_1)/(t_2-t_1 )

La velocidad angular, es siempre la misma sin importar la distancia que haya entre una partícula y el eje de rotación.

Las unidades en que se expresa comúnmente la velocidad angular es en radianes por segundo (rad/s), pero también puede expresarse en revoluciones por minuto (rpm o rev/min) y en revoluciones por segundo (rev/s).

Aceleración angular α

Al igual que en el movimiento lineal, el movimiento rotacional puede tener aceleración. La velocidad angular puede alterarse por la influencia de un momento de torsión resultante.

La fórmula para calcular la aceleración angular es la siguiente:

$\alpha ={\cfrac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\cfrac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}$

Momento de torsión (torque)

En la ley del movimiento rotacional, Newton menciona lo siguiente:

Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo.

$\tau =I\,\alpha$

Energía cinética rotacional.

Tomando en cuenta que la energía cinética lineal está dada por la siguiente fórmula:

K=1/2 mv^2

Y manteniendo la misma relación que ya se expresó más arriba, la energía cinética rotacional está dada por la fórmula:

K=1/2 mω^2 R^2

Pero, si consideramos que un cuerpo está formado por diversas partículas de masas diferentes y localizadas a diferentes distancias del eje de rotación, la energía cinética total del cuerpo sería la sumatoria de las energías cinéticas de todas las partículas del cuerpo.

K_T=∑▒〖1/2 mω^2 R^2 〗

Y tomando en cuenta que la velocidad angular es la misma para todas las partículas, la fórmula podríamos ordenarla de la siguiente manera:

K_T=1/2 ω^2 (∑▒〖mR^2 〗)

Viendo que la cantidad en paréntesis no considera si la partícula está en movimiento o en reposo, definiremos a esa cantidad como momento de inercia.

Momento de inercia

La inercia es una propiedad de la materia para resistirse a cualquier cambio en su estado, ya sea de reposo o de movimiento como lo describe la Primera Ley de Newton:

Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que una fuerza externa no equilibrada actúe sobre él. Primera Ley de Newton

Todos los cuerpos que giran alrededor de un eje desarrollan una inercia a la rotación (se resisten a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su giro. La inercia de un cuerpo a la rotación está determinada por su momento de inercia, que es la resistencia que opone un cuerpo en rotación al cambio de su velocidad de rotación.

La fórmula para calcular el momento de inercia de un cuerpo compuesto por partículas de masas dispersas es la siguiente:

I=∑▒〖mR^2〗

Para calcular el momento de inercia de cuerpos con distribuciones parejas de masa, se utilizan fórmulas específicas para cada cuerpo. Algunos de los más comunes son los siguientes:

• Aro delgado: $I=mR^{2}$

• Aro delgado alrededor de uno de sus diámetros : $I=1/2mR^{2}$

• Disco sólido: $I=1/2mR^{2}$

• Cilindro sólido: $I=1/2mR^{2}$

• Cilindro hueco: $I=1/2m(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})$

• Barra delgada con eje a través de su centro : $I=1/12ml^{2}$

• Barra delgada con eje en uno de sus extremos: $I=1/3ml^{2}$

• Esfera sólida con eje en su diámetro: $I=2/5mR^{2}$

• Esfera hueca de pared delgada: $I=2/3mR^{2}$

Dada la fórmula del momento de inercia, podemos darnos cuenta de que la unidad en que se mide la inercia es en kilogramo-metro al cuadrado (kg m²).

Referencias

Uno de los tipos de movimiento con los que nos encontramos son movimientos repetitivos en los que la posición del objeto que se se muevo vuelve a su posición original. La situación de estos tipos de movimiento que es más fácil de analizar es el que transcurre en un plano. Para estudiarlo es útil definir una serie de magnitudes angulares.

Definición de radián

Si consideramos un punto que describe algún tipo de movimiento rotatorio y tomamos el segmento que una un punto interior a la trayectoria y el punto móvil, nos daremos cuenta que dicho segmento barre un ángulo hasta que se repite la posición original y el ángulo recorrido es de 360º.

Si bien la medición del ángulo en grados sexagesimales es una posibilidad para el estudio de la cinemática de la rotación, resulta más conveniente otra unidad, conocida como radian. Para definirlo consideremos un segmento de longitud constante que barre la superficie de un círculo. Si llamamos $s$ a la longitud del arco de circunferencia correspondiente al ángulo barrido en un tiempo $t$ y $R$ la longitud del segmento considerado, el ángulo en radianes es ${\frac {s}{R}}$. Para un círculo completo $s=2\pi R$ es la longitud de la circunferencia y por tanto el número de radianes de un círculo completo es ${\frac {2\pi R}{R}}=2\pi$.

Coordenadas angulares

La coordenada fundamental para el estudio de la cinemática de la rotación es el ángulo $\left(\theta \right)$, de la que se derivan otras dos magnitudes: la velocidad angular y la acelaración angular.

Velocidad angular: El módulo de la velocidad angular $\left({\vec {\omega }}\right)$ se define como

$\omega =\left|{\frac {d\theta }{dt}}\right|$

su dirección es la perpendicular al plano del movimiento y el sentido el definido por la w:regla de la mano derecha.

Aceleración angular: De forma análoga a la aceleración lineal, se define la aceleración angular $\left({\vec {\alpha }}\right)$ como

${\vec {\alpha }}={\frac {\vec {d\omega }}{dt}}$

Relación entre magnitudes lineales y angulares

En el caso estudiado de un partícula que describe un movimiento circular se puede determinar la velocidad lineal como

${\vec {v}}=v_{t}{\vec {u_{t}}}={\frac {ds}{dt}}{\vec {u_{t}}}$

siendo ${\vec {u_{t}}}$ un vector unitario tangencial a la trayectoria circular. La descripción de dicho vector unitario y el vector unitario radial en coordenadas cartesianas es

${\vec {u_{t}}}=\cos \theta {\vec {i}}+\sin \theta {\vec {j}}$

${\vec {u_{r}}}=-\sin \theta {\vec {i}}+\cos \theta {\vec {j}}$

siendo $\theta$ el ángulo entre el radio que describe el movimiento de la partícula y el eje X.

Las derivadas con respecto al tiempo de los vectores unitarios son

${\frac {d{\vec {u_{t}}}}{dt}}=-\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {i}}+\cos \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {j}}={\frac {d\theta }{dt}}{\vec {u_{r}}}$

${\frac {d{\vec {u_{r}}}}{dt}}=-\cos \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {i}}-\sin \theta {\frac {d\theta }{dt}}{\vec {j}}=-{\frac {d\theta }{dt}}{\vec {u_{t}}}$

y

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}{\vec {u_{t}}}+{\frac {ds}{dt}}{\frac {d{\vec {u_{t}}}}{dt}}=R{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}{\vec {u_{t}}}+R\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}{\vec {u_{r}}}=R\alpha {\vec {u_{t}}}+R\omega ^{2}$

Referencias

• Gettys, W. Edward, Keller, Frederick J., Skove, Malcom J. (1995). Física Clásica y Moderna. 84-7615-635-9. 

Rotación en sólidos rígidos

En general se utiliza un cuerpo sólido ideal no puntual e indeformable denominado sólido rígido como ejemplo básico para estudiar los movimientos de rotación de los cuerpos. La velocidad de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del cuerpo a alterar su movimiento de rotación.

Cinemática de la rotación de sólidos rígidos: Para analizar el comportamiento cinemático de un cuerpo rígido debemos partir de la idea de que un angulo θ define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el cuerpo rígido (CR); este angulo se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación del CR.

Si la posición queda completamente definida por la coordenada angular θ, entonces la velocidad del CR se podrá expresar como:

${\vec {V}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

Mientras que la aceleración quedaría definida por:

${\vec {a}}={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

La energía cinética de rotación se escribe:

$E_{c}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$.

La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así: la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado ($\Delta \phi$).

$\Delta E_{c}={\vec {M}}\cdot \Delta {\vec {\phi }}$.

Definición de momento de inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una magnitud que da cuenta de cómo es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula a al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:

$I=\sum m_{i}r_{i}^{2}\,$

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:

$I=\int _{V}r^{2}dm=\int _{V}\rho r^{2}\,dV$

El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: $\scriptstyle {F=ma}$ tiene como equivalente para la rotación:

$\tau =I\alpha \,$

donde:

• $\scriptstyle {\tau }$ es el momento aplicado al cuerpo.
• $\scriptstyle {I}$ es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y
• $\textstyle {\alpha ={d^{2}\theta \over dt^{2}}}$ es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es $\scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}$, mientras que la energía de cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es $\scriptstyle {{1 \over 2}I\omega ^{2}}$. Donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular $\scriptstyle {\vec {L}}$:

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$

El vector momento angular tiene la misma dirección que el vector velocidad angular $\scriptstyle {\vec {\omega }}$.

Momentos de inercia de cuerpos simples

Momentos de inercia de algunos sólidos. En el caso de esferas o cilindros llenos, el radio interno vale cero. M es la masa del sólido.

Momentos de inercia de cuerpos simples

Descripción		$I$
varilla respecto a un eje que pasa por su centro		${\frac {mr^{2}}{12}}$
anillo delgado respecto al eje		$mr^{2}\,$
anillo delgado respecto a un diámetro		${\frac {mr^{2}}{2}}$
cilindro macizo respecto a su eje de revolución		${\frac {mr^{2}}{2}}$
esfera respecto a un diámetro		${\frac {2mr^{2}}{5}}$

Tensor de inercia de un sólido rígido

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, dicho tensor se forma a partir de los momentos de inercia según tres ejes perpendiculares y tres productos de inercia tal como se explica a continuación.

Tal como se explica al principio del artículo, para un sólido rígido tridimensional pueden definirse momentos de inercia según diversos ejes, en particular pueden definirse según tres ejes perpendiculares prefijados indepedientes que llamaremos X, Y y Z:

$I_{xx}=\int _{M}d_{x}^{2}dm=\int _{V}\rho (y^{2}+z^{2})dxdydz$

$I_{yy}=\int _{M}d_{y}^{2}dm=\int _{V}\rho (z^{2}+x^{2})dxdydz$

$I_{zz}=\int _{M}d_{z}^{2}dm=\int _{V}\rho (x^{2}+y^{2})dxdydz$

Además de estas magnitudes pueden definirse los llamados productos de inercia:

$I_{xy}=I_{yx}=\int _{M}-xy\ dm=\int _{V}-\rho xy\ dxdydz$

$I_{yz}=I_{zy}=\int _{M}-yz\ dm=\int _{V}-\rho yz\ dxdydz$

$I_{zx}=I_{xz}=\int _{M}-zx\ dm=\int _{V}-\rho zx\ dxdydz$

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

$I_{ij}=I_{ji}=\int _{M}(\delta _{ij}(\sum _{i}x_{i}^{2})-x_{i}x_{j})\ dm=\int _{V}-\rho (\sum _{i}x_{i}^{2})-x_{i}x_{j})\ dxdydz$

Donde $i,j\in {1,2,3}$ y donde $(x_{1},x_{2},x_{3})=(x,y,z)$. El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

$I_{eje}=\mathbf {t} \cdot (\mathbf {I} \mathbf {t} )=\left({\begin{matrix}t_{x}&t_{y}&t_{z}\\\end{matrix}}\right)^{T}\left({\begin{matrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}t_{x}\\t_{y}\\t_{z}\\\end{matrix}}\right)=\sum _{j}\sum _{k}I_{jk}t_{j}t_{k}$

Donde la matriz anterior es el tensor de inercia expresado en la base XYX y t = (t_x, t_y, t_z) es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Derivación formal del tensor de inercia

La velocidad de un cuerpo rígido se puede escribir como la suma de la velocidad del centro de masa más la velocidad de un elemento del sólido, matemáticamente esto es

$\mathbf {v} =\mathbf {V} _{CM}+\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r}$

donde $\mathbf {v}$ es la velocidad, $\mathbf {V} _{CM}$ es la velocidad del centro de masa, $\mathbf {\Omega }$ es la velocidad angular medida en un sistema solidario al sólido y ${\vec {r}}$ es la distancia entre el orígen de este sistema y el elemento del sólido. Si se toma la norma al cuadrado de este vector se puede obtener la energía cinética de dicho diferencial de cuerpo rígido, a saber

$dT={\frac {1}{2}}dm\;v^{2}$

donde $dm=\rho (\mathbf {r} )dV$, con $\rho (\mathbf {r} )$ la densidad del cuerpo y $dV$ un elemento de volumen. Para obtener la energía cinética total del cuerpo rígido se debe integrar en todo el volumen de éste:

$T={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )v^{2}dV$

$T={\frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}dV+\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {V} _{CM}\cdot (\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )dV$

Con el fin de anular el último término, i. e. simplificar la expresión (y las sucesivas), se elige el origen del sistema solidario al sólido en el centro de masa. De este modo

$\int \rho \mathbf {V} _{CM}\cdot (\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )dV=\int \rho \mathbf {r} \cdot (\mathbf {V} _{CM}\wedge \mathbf {\Omega } )=(\mathbf {V} _{CM}\wedge \mathbf {\Omega } )\cdot \int \rho \mathbf {r} \quad dV=0$

pues, en virtud de la elección hecha $\int \rho \mathbf {r} \quad dV=0$. Se tiene luego que

$T={\frac {1}{2}}MV_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}dV$

es evidente, que el primer término el la energía cinética debido a la traslación del cuerpo. El otro término, en consecuencia, debe ser la energía asociada a la rotación del mismo. Si se escribe explícitamente el integrando de este último término se tiene

$\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} =(\Omega _{2}x_{3}-\Omega _{3}x_{2};\Omega _{3}x_{1}-\Omega _{1}x_{3};\Omega _{2}x_{1}-\Omega _{1}x_{2})$

$(\mathbf {\Omega } \wedge \mathbf {r} )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}(\Omega _{i}x_{j}-\Omega _{j}x_{i})^{2}=\sum _{ij}\Omega _{i}^{2}x_{j}^{2}-\Omega _{j}x_{i}\Omega _{i}x_{j}=\sum _{ij}\Omega _{i}\Omega _{j}(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})$

donde es claro que:

$\Omega _{j}=\sum _{j}\Omega _{j}\delta _{ij}\,$

con $\delta _{ij}$ la delta de Kronecker. Poniendo este resultado en la expresión asociada a la energía cinética debido a la rotación y poniendo la integral dentro de la sumatoria se tiene

$T_{rot}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}\Omega _{i}\Omega _{j}\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})dV$

Debe notarse que el factor correspondiente a la integral depende únicamente de las característica geométricas (físicas) del cuerpo. En efecto, depedende de su forma (volumen) y de la masa del cuerpo y de como cómo está distribuida en dicha forma. Este factor es la componente $i,\,j$ de un cierta matriz que se conoce como Tensor de Inercia, puesto que toda matriz corresponde a un tensor de segundo rango:

$I_{ij}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\delta _{ij}r^{2}-x_{i}x_{j})\quad dV$

A los elementos $I_{ii},\,i=1,2,3$ se los llama momento de inercia respecto del eje $i$. Claramente, se ve que el tensor de inercia es simétrico, por lo tanto es siempre diagonalizable. Es decir, siempre se puede encontrar una base de vectores tal que dicha matriz tenga forma diagonal. Tales vectores definen lo que se conoce como ejes principales. En otras palabras, siempre se puede elegir un sistema completo de vectores ortonormales (ejes principales) con los cuales el tensor de incercia toma forma diagonal.

Concepto de Momento Angular

El momento angular, en el contexto de las rotaciones, se refiere a la cantidad de movimiento rotacional que posee un objeto al girar alrededor de un eje. Este concepto es fundamental para comprender la conservación del momento angular, la estabilidad de sistemas giratorios y la transferencia de energía en sistemas rotacionales.

Aplicaciones en la Física

En el ámbito de la física, el momento angular es esencial para describir fenómenos como el movimiento de planetas, el giro de partículas subatómicas y la dinámica de sistemas rotativos. La comprensión del momento en las rotaciones permite explicar la conservación de la cantidad de movimiento en sistemas a escala microscópica y macroscópica.

Ingeniería y Tecnología

En ingeniería, el momento angular es crucial para el diseño y análisis de sistemas rotativos, como motores, turbinas y dispositivos mecánicos. La aplicación del momento angular en ingeniería permite optimizar la eficiencia y estabilidad de máquinas y mecanismos que operan mediante el movimiento rotacional.

Vida Cotidiana

En la vida cotidiana, el momento en las rotaciones se manifiesta en actividades que van desde el giro de ruedas en vehículos hasta el funcionamiento de dispositivos eléctricos y electrónicos. Comprender el momento angular es fundamental para el diseño y operación segura de tecnologías presentes en la vida diaria.

Conclusión

En resumen, el momento en las rotaciones es un concepto esencial en la descripción y comprensión de fenómenos físicos, ingenieriles y cotidianos que involucran movimiento rotacional. Su aplicación permite abordar la conservación de la cantidad de movimiento en sistemas giratorios, lo que tiene implicaciones significativas en el desarrollo de tecnologías y la comprensión de la naturaleza. El momento angular o momento cinético de una masa puntual, es igual al producto vectorial del vector de posición $\scriptstyle {\vec {r}}$ (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento $\scriptstyle {\vec {p}}$ (también llamado momento lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo $\scriptstyle {\vec {L}}$:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}$

En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.

Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto $\scriptstyle {O}$es el producto vectorial de su momento lineal $\scriptstyle {m{\vec {v}}}$ por el vector $\scriptstyle {\vec {r}}$. Aquí, el momento angular es perpendicular al dibujo y está dirigido hacia el lector.

En el dibujo de derecha vemos una masa $\scriptstyle {m}$ que se desplaza con una velocidad instantánea $\scriptstyle {\vec {v}}$. El momento angular de esta partícula, con respecto a la recta perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle {\vec {r}}$ y $\scriptstyle {\vec {v}}$ es, como ya se ha escrito:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}\,$

El vector $\scriptstyle {\vec {L}}$ es perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle {\vec {r}}$ y $\scriptstyle {\vec {v}}$, luego es paralelo a la recta considerada como eje de rotación. En el caso del dibujo, el vector momento angular sale del dibujo y va hacia el observador.

El módulo del momento angular es:

$L=mrv\sin \theta =p\,r\sin \theta =p\,\ell \,$

Es decir, el módulo es igual al momento lineal multiplicado por su brazo, el cual es la distancia entre el eje de rotación y la recta que contiene la velocidad de la partícula. Por esta razón, algunos designan el momento angular como el "momento del momento".

Dependencia temporal

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

${d{\vec {L}} \over dt}={d\ \over dt}({\vec {r}}\times {\vec {p}})=\left({d{\vec {r}} \over dt}\times {\vec {p}}\right)+\left({\vec {r}}\times {d{\vec {p}} \over dt}\right)\,$

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de $\scriptstyle {\vec {r}}$ con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad $\scriptstyle {\vec {v}}$. Y como el vector velocidad de paralelo al vector cantidad de movimiento $\scriptstyle {\vec {p}}$, el producto vectorial de los dos es cero. Nos queda el segundo paréntesis:

${d{\vec {L}} \over dt}={\vec {r}}\times {d \over dt}{\vec {p}}={\vec {r}}\times {d \over dt}m{\vec {v}}={\vec {r}}\times (m{\vec {a}})\,$

donde $\scriptstyle {\vec {a}}$ es la aceleración. Pero $\scriptstyle {m{\vec {a}}={\vec {F}}}$, la fuerza aplicada a la masa. Y el producto vectorial de $\scriptstyle {\vec {r}}$ por la fuerza es el torque o momento de fuerza aplicado a la masa:

${d{\vec {L}} \over dt}={\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {\tau }}\,$

La derivada temporal del momento angular es igual al torque aplicado a la masa puntual.

Momento angular de un conjunto de partículas

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

${\vec {L}}=\sum {\vec {L}}_{i}\,$

La variación temporal es:

${d{\vec {L}} \over dt}=\sum {d{\vec {L}}_{i} \over dt}=\sum {\vec {\tau }}_{i}\,$

El término de derecha es la suma de todos los torques producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los torques producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los torques de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los torques externos:

${d{\vec {L}} \over dt}=\sum {d{\vec {L}}_{i} \over dt}={\vec {\tau }}_{ext.}\,$

El momento angular de un conjunto de partículas se conserva en ausencia de torques externos.

Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

Cuerpos rígidos

Cuando el conjunto de partículas forma un cuerpo rígido, sabemos que

${\vec {\tau }}=I{\vec {\alpha }}\,$

donde:

• $\scriptstyle {\vec {\tau }}$ es el torque aplicado al cuerpo.
• $\scriptstyle {I}$ es el momento de inercia del cuerpo.
• $\scriptstyle {\vec {\alpha }}$ es la aceleración angular del cuerpo.

Luego:

${d{\vec {L}} \over dt}=I{\vec {\alpha }}=I{d{\vec {\omega }} \over dt}\,$

Como el momento angular es cero si no hay rotación:

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}\,$

donde $\scriptstyle {\vec {\omega }}$ es la velocidad angular del cuerpo.

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de gravedad, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad de un cuerpo, más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

$I_{eje}=I_{eje}^{(CM)}+Mh^{2}\,$

Donde: I_eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I^(CM)_eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de gravedad; M - Masa de la sección transversal y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados. La demostración de este teorema resulta inmediata si consideramos la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C ${\bar {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} _{C}+\mathbf {h}$ inmediata:

$I_{eje}=\int _{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm=\int _{V}(\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}+2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm=\int _{V}\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}\quad dm+\int _{V}2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int _{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm$

$I_{eje}=I_{eje}^{(CM)}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int _{V}\mathbf {r} _{C}dm} _{=0}+Mh^{2}$

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

Aplicación de la Dinámica a la Rotación

La Dinámica de la Rotación se aplica en situaciones donde un objeto gira alrededor de un eje fijo, como una rueda girando, una peonza o un planeta orbitando alrededor de una estrella. Algunas de las aplicaciones de la dinámica a la rotación incluyen:

1. Momento de Inercia: El momento de inercia se utiliza para calcular la resistencia de un objeto a cambiar su velocidad angular. Este concepto es fundamental para comprender cómo se comportan los objetos en rotación.
2. Torque y Energía Rotacional: El torque es la medida de la tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto alrededor de un eje, mientras que la energía rotacional se relaciona con la capacidad de un objeto en rotación para realizar trabajo.
3. Conservación del Momento Angular: Al igual que la conservación del momentum lineal, la conservación del momento angular es una ley fundamental en la física, y se aplica a sistemas en rotación.

Estas aplicaciones ayudan a comprender el comportamiento de los objetos en rotación y son fundamentales en campos como la ingeniería, la física y la astronomía.