Física/Dinámica/Dinámica de los sistemas de puntos

Discusión

Si se considera un sistema de puntos, la fuerza resultante sobre el punto i de todas las fuerzas, internas y externas, que actúan sobre el es:

${\vec {F_{i}^{i}}}+{\vec {F_{i}^{e}}}=m_{i}{\frac {d^{2}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}$

donde ${\vec {F_{i}^{i}}}$ es la resultante de todas las fuerzas internas del sistemas y ${\vec {F_{j}^{e}}}$ la de todas las fuerzas externas.

Sumando para todas las particulas a considerar se obtiene un resultante para el sistema completo de partículas:

$\sum _{i}{\vec {F_{i}^{i}}}+\sum _{i}{\vec {F_{i}^{e}}}=\sum _{i}m_{i}{\frac {d^{2}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\sum _{i}m_{i}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}$

La ecuación anterior se puede simplificar dado que por el principio de acción y reacción sabemos que a toda fuerza interna sobre el punto i le ha de corresponder otra igual y de sentido opuesto ejercida en otro punto j, por lo que el primer sumatorio de la parte izquierda de la igualdad se anula, quedando solamente las fuerzas externas al sistema:

$\sum _{i}{\vec {F_{i}^{e}}}={\frac {d^{2}\sum _{i}m_{i}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}$

Si realizamos el ejercicio de considerar una masa puntal sometida a la misma fuerza que la resultante de fuerzas externas del sistema completo y con una masa igual a la masa total del sistema, podremos escribir:

$\sum _{i}{\vec {F_{i}^{e}}}={\frac {d^{2}\sum _{i}m_{i}{\vec {r_{i}}}}{dt^{2}}}={\frac {Md^{2}{\vec {R}}}{dt^{2}}}$

donde vec{R} es el vector de posición del punto imaginario considerado y $M=\sum _{i}m_{i}$

Lo que inspira las siguientes definiciones.

Definición de centro de masas

El centro de masas de un sistema de puntos es el punto geométrico donde la resultante de las fuerzas ejercidas por todos los cuerpos del sistema se anula.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los cuales no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas.

Cálculo del CM de un sistema de masas discreto

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\sum _{i}\left({\vec {r}}_{i}\cdot m_{i}\right)}{\sum _{i}m_{i}}}$

Cálculo del CM de un sistema de masas continuo

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}dm}{\int dm}}={\frac {1}{M}}\int {\vec {r}}dm$

Casos particulares en un sistema continuo

• Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la equivalencia $dm=\rho \cdot {dv^{}}^{}$

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\rho \int {\vec {r}}dv}{\rho \int dv}}={\frac {\int {\vec {r}}dv}{V}}$

Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o monodimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes.

- Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el centro geométrico del cuerpo.

• Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad $\rho ({\vec {r}})$. En este caso se calcula el CM de la siguiente forma.

${\vec {R}}_{CM}={\frac {\int {\vec {r}}\rho ({\vec {r}})dv}{M}}$

- La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad.

Interpretación física del centro de masas

El centro de masa de un sistema es un punto que se comporta dinámicamente como si todas las fuerzas externas del sistema actuasen directamente sobre el.