Física/Cinemática/Movimiento Circular

Movimiento circular

Una partícula P se mueve en una circunferencia. Colocamos un eje de coordenadas XY y en el origen O del sistema de coordenadas en el centro de la circunferencia.

Entonces es

$\overrightarrow{r}=x_r\overrightarrow{i}+y_r\overrightarrow{j}=\left(r\cos \phi \right)\overrightarrow{i}+\left(r\sin \phi \right)\overrightarrow{j}.$

Análogo a la velocidad y a la aceleración podemos definir la velocidad angular ω así

$\omega =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}t},$

y a la aceleración angular α

$\alpha =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\phi }{\mathrm{d}{t}^2}.$

Cuando t = 0 es también φ = 0, entonces es

$\phi \left(t\right)={\int }_0^t\omega \mathrm{d}t={\int }_0^t\left[{\int }_0^t\alpha \mathrm{d}t\right]\mathrm{d}t.$

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular con velocidad angular constante se lo llama uniforme. Entonces

$\phi (t)=\phi (0)+\omega typara\phi (0)=0\Rightarrow \phi (t)=\omega t.$

La ecuación del vector posición es

$\overrightarrow{r}=r\left(\cos \omega t\right)\overrightarrow{i}+r\left(\sin \omega t\right)\overrightarrow{j}.$

Con esto nos da la velocidad

$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}=-r\omega \left(\sin \omega t\right)\overrightarrow{i}+r\omega \left(\cos \omega t\right)\overrightarrow{j}$

y

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=r\omega \sqrt{{\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t}=r\omega .$

Efectuando el producto escalar entre los vectores r y v obtenemos:

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v}& =r\left(\cos \omega t\right)[-r\omega \left(\sin \omega t\right)]+r\left(\sin \omega t\right)r\omega \left(\cos \omega t\right)\\ & =-r^2\omega \left(\sin \omega t\right)\left(\cos \omega t\right)+r^2\omega \left(\sin \omega t\right)\left(\cos \omega t\right)\\ & =0\end{array}$

Con lo cual resulta que los vectores r y v son perpendiculares. Para la aceleración tenemos que

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=-r{\omega }^2\left(\cos \omega t\right)\overrightarrow{i}-r{\omega }^2\left(\sin \omega t\right)\overrightarrow{j}$

y así

$\overrightarrow{a}=-{\omega }^2\overrightarrow{r}\Rightarrow a={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}.$

La aceleración esta dirigida hacia O (aceleracion centripeta), y su modulo es constante.

 

Movimiento circular uniformemente acelerado

Aqui la aceleración angular α es constante y también ω(0) = 0

$\omega \left(t\right)=\alpha t={\left(\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}t}\right)}_t.$

También, cuando φ(0)=0, así para el angulo de rotación

$\phi \left(t\right)={\int }_0^t\omega \mathrm{d}t={\int }_0^t\alpha t\mathrm{d}t=\frac{\alpha }{2}{t}^2.$

Así tenemos también que

$\overrightarrow{r}=r\left(\cos \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{i}+r\left(\sin \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}=r\alpha t\left[-\left(\sin \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{i}+\left(\cos \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{j}\right]=r\omega \left[-\left(\sin \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{i}+\left(\cos \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{j}\right]$

y

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=r\alpha \left[-\left(\sin \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{i}+\left(\cos \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{j}\right]+$

$+r{\alpha }^2{t}^2\left[\left(-\cos \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{i}-\left(\sin \frac{\alpha }{2}{t}^2\right)\overrightarrow{j}\right].$

o

$\overrightarrow{a}=\left[-r\alpha \left(\sin \phi \right)-r{\omega }^2\left(\cos \phi \right)\right]\overrightarrow{i}+$

$+\left[r\alpha \left(\cos \phi \right)-r{\omega }^2\left(\sin \phi \right)\right]\overrightarrow{j}.$

Así, podemos deducir que la componente radial de la aceleracion (y su dirección) es

$a_{rad}=r{\omega }^2$

y su componente tangencial es

$a_{tan}=r\alpha$

 

La velocidad angular como medida de dirección

A veces es muy útil ver a la velocidad angular como medida de la dirección y representarlo a través de un en el eje de