Estadística en Microcomputadores/Modelos de Ajuste
8.3 MODELOS DE AJUSTE
Estos modelos son los más sencillos que se pueden plantear para el caso específico de series de tiempo, definiéndose cada uno de ellos mediante una función específica de predicción. Estas funciones pueden definirse genericamente, para un dado período futuro de predicción t+k, como:
xt+k = f( xt, xt-1, ... , P) k> 1
siendo P un conjunto de parámetros cuyos valores no surgen de un proceso de estimación, como en otros modelos estadísticos, sino que son adoptados exógenamente por el usuario del modelo. Los modelos de ajuste presentan la ventaja principal de ser de una mayor sencillez de aplicación que otros métodos de predicción. Ello, por el contrario, determina que su capacidad de predicción sea limitada, extendiéndose a uno o pocos períodos futuros. Debido a esta característica los modelos de ajuste tienen mucha aplicación como herramientas de predicción de corto plazo cuando se tienen muchas variables del tipo serie de tiempo. Un ejemplo de ello son las previsiones de demanda para un conjunto numeroso de productos, dentro de un sistema de gestión de inventarios.
8.3.1 Promedios Móviles
Este modelo constituye una aplicación a la predicción del concepto de promedio móvil visto dentro del análisis descriptivo de series (sección 8.1). Ahora, el promedio que se obtiene de cada grupo de valores de la serie se utiliza para estimar el valor siguiente de ésta. Así, por ejemplo, considerando grupos de m valores, la función de predicción es la siguiente, en la que el parámetro del modelo que se adopta es el número m de valores para el promedio:
xt+1= ( xt-m+1 +....+ xt-1 + xt) / m
Este es el modelo más simple de ajuste y resulta útil para predicción de series que no tienen componentes marcadas de tendencia o de estacionalidad.
8.3.2 Ajuste Exponencial
Este modelo predice el valor de la serie en estudio en el período futuro inmediato mediante el valor estimado en el período anterior, corregido por una fracción del error que dicho valor estimado tuvo con respecto al real:
xt+1 = xt + (xt - xt) = xt + (1- ) xt
siendo un parámetro cuyo valor se adopta entre 0 y 1. El modelo exponencial, apropiado en general para series sin componentes definidas de tendencia y estacionalidad, es equivalente a realizar un promedio ponderado de los valores anteriores de la serie, con factores de ponderación que decrecen a medida que se consideran valores más antiguos de la serie. Una variante del método exponencial es la de hacerlo adaptativo, es decir, transformar el parámetro en una variable, que se va modificando automáticamente a lo largo de la predicción, tratando de reducir los errores resultantes. Para ello, se definen expresiones que hacen que el valor de crezca cuando los errores tienden a hacerse más grandes.
8.3.3 Ajuste con Tendencia
Los modelos de ajuste vistos hasta ahora no se adaptan satisfactoriamente a la predicción de valores futuros de series con tendencias crecientes o decrecientes definidas. Debido a ello se han desarrollado modelos específicos de tipo exponencial o de promedios móviles que contemplan y ajustan la componente de tendencia que presenta una serie y la incorporan al modelo de predicción.
Uno de los métodos más utilizados dentro de este grupo es el denominado de Holt, que contempla dos funciones de ajuste exponencial. La primera de ellas, que involucra un parámetro . entre 0 y 1, pondera la evolución de la serie, obteniendo valores St. La segunda, con un parámetro , también con valores entre 0 y 1, pondera la evolución bt de la diferencia entre valores consecutivos de la serie. La predicción de valores de ésta se efectúa mediante la función:
xt+k = St + kbt
Otro modelo de ajuste para series con tendencia es el denominado de Brown. Este modelo utiliza dos veces un modelo exponencial simple, ambas con un único parámetro . La primera se aplica a los valores originales de la serie y la segunda a las estimaciones obtenidas con la primera. A partir de los resultados de las funciones de ajuste se obtienen valores at y bt, con los que se pueden predecir valores futuros de la serie, de manera similar al caso anterior.
Una extensión de este criterio se utiliza en el modelo cuadrático de Brown, donde se aplica tres veces la función de ajuste exponencial simple, con el mismo parámetro , obteniendo una función de estimación cuadrática con respecto al período k de predicción.
8.3.4 Ajuste con Tendencia y Estacionalidad
Cuando la serie en estudio presenta componentes definidas de tendencia y estacionalidad los modelos anteriores en general no suministran buenas predicciones. Debido a ello se han desarrollado modelos específicos que tienen en cuenta la existencia de dichas componentes, a costa de una mayor complejidad de cálculo. De ellos el más conocido es el denominado de Winters, que es una extensión del de Holt al caso de estacionalidad.
El modelo contempla tres funciones de ajuste exponencial. La primera de ellas pondera en un valor St la serie original sin tener en cuenta la estacionalidad. El segundo ajuste pondera la evolución bt de la tendencia como diferencia entre valores consecutivos de la serie. Finalmente, un tercer ajuste exponencial pondera el factor It de estacionalidad para cada período.
La predicción de valores de la serie se efectúa mediante la función:
xt+k = (St + kbt)It-L+1
El método requiere la definición de cuatro parámetros. Los tres primeros, , y , con valores entre 0 y 1, se utilizan en las respectivas funciones de ajuste. El último parámetro, L, es directamente la longitud del período de estacionalidad de la serie, que se conoce de antemano.
Otro modelo de ajuste dentro de este grupo, de menor aplicación que el anterior, es el armónico de Harrison. Este modelo representa la estacionalidad mediante combinaciones de funciones trigonométricas, basadas en el concepto de transformación de Fourier, que veremos en la sección 8.6 .