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Probabilidades Condicionales

Ejemplo

Archivo:KariesBayA.png

Como van ligados las caries y la costumbre de lavarse los dientes?

Un año después se realiza en esa escuela de prueba con propósito de investigar a 200 niños una serie de análisis sobre salud dental. Ahora se lavan los dientes regularmente el 60% de los niños. De esos niños, 40 tienen caries. Para informes oficiales se tiene que 60 niños tienen caries.

Debemos construir un diagrama de Venn a escala. En cada casilla estan 5 niños. Entonces:

$P(Z)=0{,}6;\qquad P({\bar {Z}})=0{,}4;$

$P(Z\cap K)=0{,}2;\qquad P(Z\cap {\bar {K}})=0{,}4;$

$P({\bar {Z}}\cap K)=0{,}3;\qquad P({\bar {Z}}\cap {\bar {K}})=0{,}1.$

Nos interesa ahora las probabilidades condicionales, que un niño tenga caries cuando se conoce que se lava los dientes:

$P(K|Z).$

Dicho en otras palabras: La cantidad de niños con caries de los niños que se cepillan los dientes regularmente.

Para la probabilidad condicional tenemos que

$P(K|Z)={\frac {P(K\cap Z)}{P(Z)}}.$

Como se entiende esta probabilidad?

Se traen por lo pronto a todos los niños que se lavan regularmente los dientes al aula. De los 120 niños ahora se ha escogido aleatoriamente uno. Que probabilidad tiene ese niño caries? Observamos que de 120 niños 40 tienen caries.

Exactamente esa estrategia es el principio de la probabilidad condicional!

Resulta: $P(K|Z)={\frac {40}{120}}={\frac {1}{3}}.$

Un tercio de los niños que se limpian los dientes tienen caries, entonces naturalmente dos tercios no tienen caries. Vemos igualmente que el cálculo antes mencionado se representa por la conocida fórmula:

Archivo:KariesBayB.png

Como se divide los casos de caries con relación a la costumbre de cepillarse los dientes?

$P(K|Z)={\frac {P(K\cap Z)}{P(Z)}}={\frac {40}{200}}{\frac {120}{200}}={\frac {40}{120}}={\frac {1}{3}},$

correspondientemente tenemos que:

$P({\bar {K}}|Z)={\frac {P({\bar {K}}\cap Z)}{P(Z)}}={\frac {\frac {80}{200}}{\frac {120}{200}}}={\frac {2}{3}},$

$P(K|{\bar {Z}})={\frac {P(K\cap {\bar {Z}})}{P({\bar {Z}})}}={\frac {\frac {60}{200}}{\frac {80}{200}}}={\frac {3}{4}},$

$P({\bar {K}}|{\bar {Z}})={\frac {P({\bar {K}}\cap {\bar {Z}})}{P({\bar {Z}})}}={\frac {\frac {20}{200}}{\frac {80}{200}}}={\frac {1}{4}}.$

Comparece este diagrama de Venn con el anterior! por qué se diferencian los dos diagramas?

Ejercicio

Es conocido que el curso de las acciones de la empresa Dachs en un 55% aumenta todos los dias de bolsa.

Evento: K₁: el curso aumenta al primer día, K₂: el curso aumenta al segundo día.

Se hace constar que las siguientes reglas para el desarrollo del curso de las acciones: el 40% de todos los observadores estiman que se incrementarán los dos primeros dias, el 15% que incrementará el primero pero disminuirá el segundo. En contra está 15% que cree que caerá el primero pero el segundo aumentará y el resto opina que caerá los dos días.

1. Represente la probabilidad total en un diagrama de Venn
2. Son los eventos K₁ y K₂ independientemente estocásticos? (Base una respuesta formal con ayuda d ela teoría de probabilidades).
3. El día de hoy el curso aumenta:
   • Con que probabilidad aumentará mañana (busque: P(K₂|K₁))?
   • Qué probabilidad hay que caigán las acciones?
4. Qué probabilidad hay que mañana las acciones aumenten, cuando hoy cayeron?