Ejemplo Dos

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¿Bajo qué condiciones de p y q la proposición

es falsa?

Sol: Este ejercicio se puede resolver de dos formas:

Primera forma, tabla de verdad.

En este caso, las proposiciones simples son dos, p y q. Luego, la tabla de verdad tiene filas.

Empezando por llenar las columnas de las proposiciones simples, la tabla queda de la forma

V
V
V
F
F
V
F
F

Luego, llenando la tercera columna, que es la negación de la segunda, tenemos

V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V

La cuarta columna la llenamos usando el bicondicionante para las columnas uno y dos. Tenemos

V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V

Llenamos la quinta columna usando la conjunción para las columnas cuatro y tres. Tenemos

V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V

Para llenar la sexta columna usamos la conjunción para las columnas uno y tres. Tenemos

V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F

Finalmente, para llenar la séptima y última columna de la tabla, usamos la condicionante para las columnas quinta y sexta, teniéndose que

V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F

De esta forma, vemos que para que la proposición compuesta tenga valor de verdad falso, debe cumplirse que cada proposición simple, p y q, deben tener valor de verdad falso.


Segunda forma, descomposición en proposiciones simples.

Vemos que en la proposición compuesta el conectivo importante es el condicionante .

Por la tabla asociada, vemos que la única combinación que hace al condicionante tener valor de verdad falso, es cuando el antecedente tiene valor de verdad verdadero, y el consecuente tiene valor de verdad falso.

Luego, se debe tener que

Del hecho que la proposición compuesta tiene valor de verdad verdadero, se debe tener entonces que tanto la proposición como la proposición deben tener valor de verdad verdadero.

Así, como , entonces tenemos que .

Ahora, como y , se tiene que la proposición simple .

Luego, ambas proposiciones simples p y q deben tener valor de verdad falso.