Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales homogéneas

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Ecuaciones diferenciales homogéneas[editar]

En la práctica, es muy difícil que nos encontremos con ecuaciones diferenciales separables. Sin embargo, hay ocasiones en las que algún tipo de sustitución transforma la ecuación diferencial no separable en una ecuación que sí es separable. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones son las ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación diferencial se llama homogénea si puede escribirse de la forma

(1.9


Vemos entonces que en este tipo de ecuaciones, queda aislada en un lado de la ecuación, mientras que en el otro lado tenemos una expresión en la que e aparecen siempre en la forma . Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas son


Veremos ahora que la sustitución transforma una ecuación diferencial homogénea en una ecuación diferencial separable. En efecto, pues si , entonces


de modo que la ecuación (1.9)

se transforma en la ecuación 


Esta ecuación es claramente separable, y puede escribirse como


luego en forma diferencial tenemos


así que integrar ambos lados de la ecuación da lugar a una ecuación que definirá la solución general de la ecuación (1.9)

.


Ejemplo 1.4[editar]

Resolver la ecuación diferencial


Solución: Haciendo tenemos que la ecuación diferencial anterior se convierte en


Integrando ambos lados de la ecuación obtenemos


Puesto que , tenemos que


que define de manera explícita la solución general de la ecuación diferencial.


Hay ocasiones en que una ecuación diferencial es lo suficientemente parecida a una ecuación diferencial homogénea que un sencillo cambio de variables la transforma en una ecuación diferencial homogénea. Consideremos, por ejemplo, ecuaciones diferenciales de la forma

(1.10


donde son constantes. Si , podemos escribir (1.10)

como
(1.11


La ecuación (1.11)

es homogénea si . Si este no es el caso, entonces podemos intentar un cambio de variable del tipo


donde intentaremos escoger y de manera que éstos anulen las constantes y . Para esto, vemos que el tipo de sustitución indicado arriba nos deja con la ecuación diferencial de la forma


Por lo tanto, debemos escoger y de manera que

(1.12


El sistema de ecuaciones (1.12)

tendrá solución para  y  si y sólo si 


Siendo éste el caso, podemos elegir y de manera que se satisfaga el sistema (1.12)

, y con ello haremos que la ecuación (1.11)

se transforme en una ecuación homogénea.